《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

②用适当的方法解下列方程：$x^3 - 4x = 0$；$(x^2 + x)^2 - 4(x^2 + x) + 4 = 0$．

答案： $x_1 = 0$，$x_2 = 2$，$x_3 = -2$；$x_1 = -2$，$x_2 = 1$
解析：$x^3 - 4x = 0$，$x(x^2 - 4) = 0$，$x(x - 2)(x + 2) = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$或$x = -2$。
$(x^2 + x)^2 - 4(x^2 + x) + 4 = 0$，设$y = x^2 + x$，则$y^2 - 4y + 4 = 0$，$(y - 2)^2 = 0$，$y = 2$，即$x^2 + x = 2$，$x^2 + x - 2 = 0$，$(x + 2)(x - 1) = 0$，解得$x = -2$或$x = 1$。

12. 一元二次方程的解法——均值换元法（1）阅读思考利用均值换元法解一类一元二次方程：$(2x + 3)(2x - 5) = 20$．第一步：令$t = \frac{(2x + 3) + (2x - 5)}{2} = 2x - 1$；第二步：原方程可变形为$(t + 4)(t - 4) = 20$；第三步：……；根据$t$的值可以求出$x_1 = \frac{7}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$．（2）方法总结求原方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法．我们在解决形如$(ax + b)(ax + c) = d$（其中$a$，$b$，$c$，$d$均是常数，且$a \neq 0$）的方程时可以利用均值换元法求解．①利用均值换元法解方程体现的数学思想是______．A. 分类讨论思想B. 数形结合思想C. 整体代换思想D. 类比思想②完成阅读思考中第二步以后求$t$的值的过程．③利用均值换元法解方程：$(x + 200)(x - 640) = -144000$．

答案： ①C
②$(t + 4)(t - 4) = 20$，$t^2 - 16 = 20$，$t^2 = 36$，$t = \pm 6$
③令$t = \frac{(x + 200) + (x - 640)}{2} = x - 220$，则$x + 200 = t + 420$，$x - 640 = t - 420$，原方程化为$(t + 420)(t - 420) = -144000$，$t^2 - 420^2 = -144000$，$t^2 = 420^2 - 144000 = 176400 - 144000 = 32400$，$t = \pm 180$，当$t = 180$时，$x - 220 = 180$，$x = 400$；当$t = -180$时，$x - 220 = -180$，$x = 40$，解得$x_1 = 400$，$x_2 = 40$