《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

7. 已知二次函数$ y=ax^2 + bx + c $的图象如图所示，给出下列结论：①$ a＞0 $，②$ b＞0 $，③$ a + b ＜ 0 $，④$ b^2 - 4ac ＞ 0 $. 其中正确的是_______.

答案： ②③④
解析：图象开口向下（$ a＜0 $），①错误；对称轴$ x=-\frac{b}{2a}＞0 $（$ a＜0 $则$ b＞0 $），②正确；当$ x=1 $时$ y=a + b + c＜0 $，$ c＞0 $，故$ a + b ＜ -c ＜ 0 $，③正确；与$ x $轴有两个交点，$ b^2 - 4ac＞0 $，④正确.

8. 若抛物线$ y=x^2 + bx + 1 $的顶点在坐标轴上，则$ b $的值为_______.

答案： $ 0 $或$ \pm 2 $
解析：顶点$ \left( -\frac{b}{2}, \frac{4 - b^2}{4} \right) $. 在$ x $轴上：$ \frac{4 - b^2}{4}=0 \Rightarrow b=\pm 2 $；在$ y $轴上：$ -\frac{b}{2}=0 \Rightarrow b=0 $.

9. 已知二次函数$ y=x^2 - 6x + 8 $.
（1）用配方法将其化为$ y=a(x-h)^2 + k $的形式.
（2）这个二次函数图象的对称轴是_______，顶点坐标是_______.
（3）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象.
（4）当$ 1 ＜ x ＜ 6 $时，$ y $的取值范围是_______.

答案： （1）$ y=(x - 3)^2 - 1 $
解析：$ y=x^2 - 6x + 9 - 1=(x - 3)^2 - 1 $.
（2）直线$ x=3 $；$ (3, -1) $
解析：由顶点式可知对称轴为直线$ x=3 $，顶点坐标$ (3, -1) $.
（3）图略（需描点：顶点$ (3, -1) $，与$ x $轴交点$ (2,0) $，$ (4,0) $，与$ y $轴交点$ (0,8) $等）
（4）$ -1 \leq y ＜ 8 $
解析：当$ x=3 $时$ y_{min}=-1 $；当$ x=6 $时$ y=8 $，故$ -1 \leq y ＜ 8 $.

10. 如图，抛物线$ y=ax^2 + bx - 3 $与$ x $轴交于点$ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $，与$ y $轴交于点$ C $.
（1）求抛物线的解析式.
（2）在对称轴上找一点$ Q $，使$ \triangle ACQ $的周长最小，求点$ Q $的坐标.
（3）$ P $是第四象限内抛物线上的动点，求$ \triangle BPC $的面积$ S $的最大值及此时点$ P $的坐标.

答案： （1）$ y=x^2 - 2x - 3 $
解析：设$ y=a(x + 1)(x - 3) $，代入$ (0, -3) $得$ -3=a(-3) \Rightarrow a=1 $，故$ y=x^2 - 2x - 3 $.
（2）$ (1, -2) $
解析：$ A(-1,0) $关于对称轴$ x=1 $的对称点为$ B(3,0) $. 直线$ BC $：$ y=x - 3 $，与对称轴交于$ Q(1, -2) $.
（3）最大值$ \frac{27}{8} $，$ P\left( \frac{3}{2}, -\frac{15}{4} \right) $
解析：设$ P(x, x^2 - 2x - 3) $，$ S=\frac{1}{2} × 3 × (-x^2 + 3x)=-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x $. 对称轴$ x=\frac{3}{2} $，$ y_{max}=-\frac{3}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{9}{2}\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{27}{8} $，此时$ P\left( \frac{3}{2}, -\frac{15}{4} \right) $.