《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

结构梳理
解一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）
配方法转化成$(x + n)^2 = p$的形式
当$p ＞ 0$时，方程有两个 ______ 的实数根，$x_1 = -n - \sqrt{p}$，$x_2 =$______.
当$p = 0$时，方程有两个 ______ 的实数根，$x_1 = x_2 =$______.
当$p ＜ 0$时，方程 ______ 实数根.
填空：① ______；② ______；③ ______；④ ______；⑤ ______.

答案： ①不相等；②$-n + \sqrt{p}$；③相等；④$-n$；⑤没有

1. 用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（ ）.
A. $x^2 - 2x = 5$
B. $x^2 + 4x = 5$
C. $x^2 + 2x = 5$
D. $2x^2 - 4x = 5$

答案： B
配方法中，两边需加上一次项系数一半的平方。
A. 一次项系数-2，一半的平方是1，加1；
B. 一次项系数4，一半的平方是4，加4；
C. 一次项系数2，一半的平方是1，加1；
D. 先化简为$x^2 - 2x = \dfrac{5}{2}$，加1，故选B

2. 下列用配方法解方程$\dfrac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$的四个步骤中，出现错误的步骤序号是（ ）.
①$\dfrac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0 \to x^2 - 2x = 4$
②$x^2 - 2x = 4 \to x^2 - 2x + 1 = 5$
③$(x - 1)^2 = 5$
④$x = \sqrt{5} + 1$
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

答案： D
步骤④中，开平方得$x - 1 = \pm \sqrt{5}$，$x = 1 \pm \sqrt{5}$，漏写负根，故步骤④错误，选D

3. 若方程$9x^2 - kx + 1 = 0$的左边可以写成一个完全平方式，则$k$的值是 ______.

答案： $\pm 6$
$9x^2 - kx + 1 = (3x)^2 - kx + 1^2$，完全平方式$(3x \pm 1)^2 = 9x^2 \pm 6x + 1$
$\therefore -k = \pm 6$，$k = \pm 6$

4. 用配方法解方程$x^2 - 4x - 5 = 0$时，配方的结果是 ______.

答案： $(x - 2)^2 = 9$
$x^2 - 4x = 5$
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$
$(x - 2)^2 = 9$

5. 填空：
（1）$x^2 + 18x +$______$=(x +$______$)^2$；
（2）$x^2 -$______$+ 16 = (x - 4)^2$；
（3）$x^2 + 3x +$______$=(x +$______$)^2$；
（4）$x^2 -\dfrac{2}{7}x +$______$=(x -$______$)^2$.

答案： （1）81，9；（2）8x，4；（3）$\dfrac{9}{4}$，$\dfrac{3}{2}$；（4）$\dfrac{1}{49}$，$\dfrac{1}{7}$
（1）一次项系数18，一半为9，平方81，$x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2$
（2）$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$，故填8x
（3）一次项系数3，一半$\dfrac{3}{2}$，平方$\dfrac{9}{4}$，$x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = (x + \dfrac{3}{2})^2$
（4）一次项系数$-\dfrac{2}{7}$，一半$-\dfrac{1}{7}$，平方$\dfrac{1}{49}$，$x^2 - \dfrac{2}{7}x + \dfrac{1}{49} = (x - \dfrac{1}{7})^2$