《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

11. 设二次函数$ y=ax^{2}+bx+1 $（$ a\neq 0 $，$ b $是实数）. 已知函数值$ y $和自变量$ x $的部分对应取值如下表所示：
| $ x $ | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | ... | $ m $ | 1 | $ n $ | 1 | $ p $ | ... |
（1）若$ m=4 $，
① 求二次函数的解析式；
② 写出一个符合条件的$ x $的取值范围，使得$ y $随$ x $的增大而减小.
（2）若在$ m $，$ n $，$ p $这三个实数中，只有一个是正数，求$ a $的取值范围.

答案： （1）① 当$ x=-1 $时，$ y=4 $，代入$ y=ax^{2}+bx+1 $得：$ a(-1)^{2}+b(-1)+1=4 $，即$ a - b = 3 $.
当$ x=2 $时，$ y=1 $，代入得：$ a(2)^{2}+b(2)+1=1 $，即$ 4a + 2b = 0 $，化简为$ 2a + b = 0 $.
联立$\begin{cases}a - b = 3 \\ 2a + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-2\end{cases}$.
∴二次函数解析式为$ y=x^{2}-2x+1 $.
② 抛物线$ y=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2} $开口向上，对称轴为$ x=1 $，当$ x＜1 $时，$ y $随$ x $增大而减小，取值范围如$ x＜1 $.
（2）由抛物线过$ (0,1) $和$ (2,1) $，对称轴为$ x=\frac{0+2}{2}=1 $，即$ -\frac{b}{2a}=1 $，得$ b=-2a $.
则$ m=a - b + 1=3a + 1 $，$ n=a + b + 1=-a + 1 $，$ p=9a + 3b + 1=3a + 1 $，即$ m=p $.
若只有一个正数，则$ m=p\leq0 $且$ n＞0 $.
由$ 3a + 1\leq0 $得$ a\leq-\frac{1}{3} $；由$ -a + 1＞0 $得$ a＜1 $.
综上，$ a $的取值范围是$ a\leq-\frac{1}{3} $.