《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

19. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含点B，D）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN. 连接EN，AM，CM. 求证：AM=EN.

答案： 证明：
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°。
∵BM绕B逆时针旋转60°得BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠EBN。在△ABM和△EBN中，AB=BE，∠ABM=∠EBN，BM=BN，
∴△ABM≌△EBN(SAS)，
∴AM=EN。

20. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC. 若AC=6，求四边形ABCD的面积.

答案： 18
解析：将△ABC绕A旋转使AB与AD重合，得△ADE，∠CDE=90°，AC=AE=6，△ACE是等腰直角三角形，面积=1/2×6×6=18，即四边形ABCD面积=18。

21. 在矩形ABCD中，点E在线段AD上，∠ABE=60°，将△ABE绕点B顺时针旋转后可得到△FBG，使点A的对应点F在线段BE上.
（1）请在图中作出△FBG.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）FG与BC交于点Q，连接EQ，EC. 若EC=BQ，则AE与DE的数量关系是______.

答案： （1）作图略；（2）AE=2DE
解析：（2）设DE=x，AE=FG=y，AD=AE+DE=y+x。∠ABE=60°，AB=AE·cos60°=y/2，BQ=EC=√(DE²+CD²)=√(x²+(y/2)²)。FG//AD，△BQF∽△BEA，BQ/BE=BF/BA，BE=2AB=y，BF=AB=y/2，
∴BQ/y=(y/2)/(y/2)=1，BQ=y，
∴√(x²+(y/2)²)=y，解得y=2x，即AE=2DE。

22. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，且∠EAF=45°. 若AB=5，求△ECF的周长.

答案： 10
解析：将△ADF绕A顺时针旋转90°得△ABG，∠GAE=∠EAF=45°，△AGE≌△AFE，EF=GE=BE+DF，△ECF周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+DF=BC+CD=2AB=10。