《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

6. 如图，在纸上分别剪下一个圆和一个扇形，使它们恰好围成一个圆锥，如果扇形的圆心角为$90^\circ$，扇形的半径为4，那么圆的半径为 $\underline{\quad\quad}$.

答案： 1
解析：扇形弧长$\frac{90\pi × 4}{180} = 2\pi r$，解得$r = 1$。

7. 一个圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数是 $\underline{\quad\quad}$.

答案： 180°
解析：设底面半径$r$，母线$l = 2r$，$2\pi r = \frac{n\pi × 2r}{180}$，解得$n = 180^\circ$。

8. “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图是一个陀螺的立体结构图. 已知底面圆的直径$AB = 8$ cm，圆柱体部分的高$BC = 6$ cm，圆锥体部分的高$CD = 3$ cm，则这个陀螺的表面积是 $\underline{\quad\quad}$ $cm^2$.

答案： 84π
解析：圆柱侧面积$2\pi × 4 × 6 = 48\pi$；圆锥母线$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，侧面积$\pi × 4 × 5 = 20\pi$；圆柱底面积$\pi × 4^2 = 16\pi$。总表面积$48\pi + 20\pi + 16\pi = 84\pi$。

9. 如图，矩形纸片$ABCD$中，$AD = 6$ cm，把它分割成正方形纸片$ABFE$和矩形纸片$EFCD$后，分别裁出扇形$BAF$和半径最大的圆，此扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则$AB$的长为 $\underline{\quad\quad}$ cm.

答案： 4
解析：设$AB = x$，扇形弧长$\frac{90\pi x}{180} = \frac{\pi x}{2}$，圆半径$R = \frac{x}{4}$。矩形$EFCD$中圆直径$= 6 - x$，$R = \frac{6 - x}{2}$。$\frac{x}{4} = \frac{6 - x}{2}$，解得$x = 4$。

10. 某种冰激凌（如图（1））可以视为圆锥，它的底面圆直径$ED$与母线$AD$长之比为$1:2$，如图（2）. 制作这种外包装需要用如图（3）所示的等腰三角形材料，其中$AB = AC$，$AD \perp BC$. 将扇形$AEF$围成圆锥时，$AE$，$AF$恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角$\angle BAC$的度数.
（2）若圆锥底面圆的直径$ED = 5$ cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积（结果保留$\pi$）.

答案： （1）设$ED = 2r$，则$AD = 2 × 2r = 4r$（母线）。扇形弧长$2\pi r = \frac{n\pi × 4r}{180}$，解得$n = 90^\circ$，即$\angle BAC = 90^\circ$；
（2）$ED = 5$，$r = \frac{5}{2}$，$AD = 10$ cm。$\triangle ABC$中，$AB = AC = \frac{10}{\cos 45^\circ} = 10\sqrt{2}$，$BC = 20$，面积$\frac{20 × 10}{2} = 100$。扇形面积$\frac{90\pi × 10^2}{360} = 25\pi$。阴影面积$100 - 25\pi$。