《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

7. 某商品原价为18元，分两次降价，设平均每次降价的百分率为$x$，降价后的价格为$y$元，则$y$与$x$的函数解析式为（ ）.
A. $y = 36(1 - x)$
B. $y = 36(1 + x)$
C. $y = 18(1 - x)^2$
D. $y = 18(1 + x^2)$

答案： C
解析：第一次降价后价格为$18(1 - x)$，第二次降价后为$18(1 - x)^2$，故$y=18(1 - x)^2$。

8. 已知二次函数$y = x^2 + mx + n$的对称轴为$x=-1$，点$(-4,y_1)$，$(-3,y_2)$，$(3,y_3)$在此函数的图象上，则有（ ）.
A. $y_1＞y_2＞y_3$
B. $y_3＞y_1＞y_2$
C. $y_2＞y_1＞y_3$
D. $y_3＞y_2＞y_1$

答案： B
解析：对称轴$x=-1$，$a=1＞0$开口向上，距离对称轴越远函数值越大。$|3 - (-1)|=4$，$|-4 - (-1)|=3$，$|-3 - (-1)|=2$，则$y_3＞y_1＞y_2$。

9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + b$与二次函数$y = b(x - a)^2$的图象大致为（ ）.
A.
B.
C.
D.

答案： A
解析：二次函数$y=b(x - a)^2$顶点$(a,0)$，开口由$b$决定。A中一次函数$a＞0,b＞0$，二次函数开口向上，顶点$(a,0)$在$x$正半轴，符合；B顶点在负半轴矛盾；C一次函数$b＜0$时二次函数开口向下矛盾；D顶点位置不符，故选A。

10. 一元二次方程$x^2 + bx + c = 3$的两个根分别为-2和4，若二次函数$y = x^2 + bx + c$与$x$轴的交点为$(x_1,0)$，$(x_2,0)(x_1＜x_2)$，则对于$x_1$，$x_2$的范围描述正确的是（ ）.
A. $-2＜x_1＜4＜x_2$
B. $-2＜4＜x_1＜x_2$
C. $-2＜x_1＜x_2＜4$
D. $x_1＜-2＜4＜x_2$

答案： D
解析：方程$x^2 + bx + c=3$的根即$y=x^2 + bx + c$与$y=3$交点横坐标-2和4，抛物线开口向上，故与$x$轴交点在-2左侧和4右侧，即$x_1＜-2＜4＜x_2$。

11. 将函数$y=-x^2 - 2x + 2$化为$y=a(x - h)^2 + k$的形式是__________.

答案： $y=-(x + 1)^2 + 3$
解析：$y=-(x^2 + 2x) + 2=-(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2=-(x + 1)^2 + 3$。

12. 如图，已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为$x = 1$，与$x$轴的一个交点的坐标是（3，0），则方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根是__________.

答案： -1和3
解析：对称轴$x=1$，与$x$轴交点（3，0）关于$x=1$对称的点为$(-1,0)$，故两根为-1和3。

13. 某商店销售一种头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶. 经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶. 已知头盔的进价为每顶40元，则销售该种头盔月利润最大时，每顶头盔的售价为__________元.

答案： 55
解析：设降价$x$元，利润$w=(60 - x - 40)(200 + 20x)=(20 - x)(200 + 20x)=-20x^2 + 200x + 4000$，对称轴$x=5$，售价$60 - 5=55$元。

14. 如图所示，某拱桥的桥拱呈抛物线形，当水面宽$AB$为12 m时，桥洞顶部离水面4 m. 以水平方向为$x$轴，建立平面直角坐标系. 若选取点$A$为坐标原点，抛物线解析式是__________；若选取点$B$为坐标原点，抛物线解析式是__________.

答案： $y=-\frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{3}x$；$y=-\frac{1}{9}x^2 - \frac{4}{3}x$
解析：选$A$为原点，$A(0,0)$，$B(12,0)$，顶点（6，4），设$y=a(x - 6)^2 + 4$，代入$A(0,0)$得$a=-\frac{1}{9}$，展开得$y=-\frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{3}x$；选$B$为原点，$B(0,0)$，$A(-12,0)$，顶点（-6，4），同理得$y=-\frac{1}{9}x^2 - \frac{4}{3}x$。