《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

8. 已知二次函数$ y=ax^2 + bx - 3 $的图象经过点$ (1, -4) $和$ (-1, 0) $.
（1）求这个二次函数的解析式.
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标.

答案： （1）$ y=x^2 - 2x - 3 $
解析：代入点得$ \begin{cases} a + b - 3=-4 \\ a - b - 3=0 \end{cases} $，解得$ a=1 $，$ b=-2 $.
（2）$ (3,0) $，$ (-1,0) $，$ (0,-3) $
解析：与$ x $轴交于$ (3,0) $，$ (-1,0) $；与$ y $轴交于$ (0,-3) $.

9. 如图，二次函数$ y=-x^2 + 3x + 4c $的图象与$ x $轴交于点$ A $，$ B $，与$ y $轴交于点$ C $，且$ OC=4OA $，求这个二次函数的解析式.

答案： $ y=-x^2 + 3x + 4 $
解析：$ C(0, 4c) $，$ OC=4|c| $，$ OA=|x_A| $. 设$ A(-1,0) $（$ x_A=-1 $），则$ 4c=4 \Rightarrow c=1 $，解析式为$ y=-x^2 + 3x + 4 $.

10. 如图，已知抛物线$ y=x^2 + bx + c $经过$ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $两点.
（1）求$ b $，$ c $的值和顶点坐标.
（2）当$ 0 ＜ x ＜ 3 $时，求$ y $的取值范围.

答案： （1）$ b=-2 $，$ c=-3 $，顶点$ (1, -4) $
解析：设$ y=(x + 1)(x - 3)=x^2 - 2x - 3 $，故$ b=-2 $，$ c=-3 $，顶点$ (1, -4) $.
（2）$ -4 \leq y ＜ 0 $
解析：当$ x=1 $时$ y_{min}=-4 $；当$ x=0 $或$ x=3 $时$ y=0 $，故$ -4 \leq y ＜ 0 $.