《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

12. 解下列方程：
（1）$ 3(x - 1)^2 - 6 = 0 $；
（2）$ x^2 - 4x - 3 = 0 $；
（3）$(x + 4)^2 = 5(x + 4)$；
（4）$(x + 8)(x + 1) = -12$.

答案： （1）$3(x - 1)^2 = 6$，$(x - 1)^2 = 2$，$x - 1 = \pm \sqrt{2}$，$x_1 = 1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
（2）$x^2 - 4x = 3$，$x^2 - 4x + 4 = 7$，$(x - 2)^2 = 7$，$x = 2 \pm \sqrt{7}$，$x_1 = 2 + \sqrt{7}$，$x_2 = 2 - \sqrt{7}$.
（3）$(x + 4)^2 - 5(x + 4) = 0$，$(x + 4)(x + 4 - 5) = 0$，$x + 4 = 0$或$x - 1 = 0$，$x_1 = -4$，$x_2 = 1$.
（4）$x^2 + 9x + 8 = -12$，$x^2 + 9x + 20 = 0$，$(x + 4)(x + 5) = 0$，$x_1 = -4$，$x_2 = -5$.

13. 若关于$ x $的方程$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则$ m $的取值范围是______.

答案： $m \leq 2$
解析：当$m = 1$时，方程为$2x + 1 = 0$，有实根；当$m \neq 1$时，$\Delta = 4 - 4(m - 1) \geq 0$，$m \leq 2$且$m \neq 1$. 综上$m \leq 2$.

14. 某次同学聚会上，每人都向其他人赠送一份礼品. 同学小丁因事未能到场，无法送给同学礼品，但所有同学给小丁送出了礼品. 若该次聚会共送出121份礼品，则到现场参加聚会的人数为______.

答案： 11
解析：设到场人数为$n$，每人给小丁1份礼品（共$n$份），且每人向其他$n - 1$人送礼品（共$n(n - 1)$份），总礼品数$n + n(n - 1) = n^2 = 121$，$n = 11$.

15. 已知$ a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，关于$ x $的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$有两个相等的实数根，则$\triangle ABC$为______.

答案： 直角三角形
解析：$\Delta = 4b^2 - 4(a + c)(a - c) = 4(b^2 + c^2 - a^2) = 0$，$b^2 + c^2 = a^2$，故为直角三角形.

16. 若实数$ x$，$y$满足$(x^2 + y^2 - 3)(x^2 + y^2) - 4 = 0$，则$ x^2 + y^2 $的值为______.

答案： 4
解析：设$t = x^2 + y^2$，方程为$(t - 3)t - 4 = 0$，$t^2 - 3t - 4 = 0$，$t = 4$（$t = -1$舍）.

17. 已知$ a$，$b$是方程$ x^2 + 3x - 5 = 0 $的两个实数根，则$ a^2 - 3b + 2025 $的值是______.

答案： 2039
解析：$a^2 = -3a + 5$，原式$= -3a + 5 - 3b + 2025 = 2030 - 3(a + b)$，$a + b = -3$，故原式$= 2030 + 9 = 2039$.

18. 已知实数$ a$，$b$满足$ a^2 + a = b^2 + b = 3$，$a \neq b$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为______.

答案： $\frac{1}{3}$
解析：$a$，$b$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两根，$a + b = -1$，$ab = -3$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

19. 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m. 如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？设梯子底端滑动$ x $m，则下滑后梯子底端距墙______m. 根据等量关系，可列方程为______.

答案： $\sqrt{51}$；$(6 + x)^2 + 7^2 = 10^2$
解析：原底端距墙$6$m，顶端下滑后距地$7$m，方程$(6 + x)^2 + 7^2 = 10^2$，底端距墙$6 + x = \sqrt{51}$m.

20. 如图，将图（1）表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图（2）表示的矩形. 若$ x = 1$，则$ y $等于______.

答案： $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
解析：正方形边长$x + y$，面积$(x + y)^2$；矩形长$x + y + x = 2x + y$，宽$y$，面积$y(2x + y)$. 由$(1 + y)^2 = y(2 + y)$，得$y^2 + y - 1 = 0$，$y = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.