《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

22. 在平面直角坐标系$xOy$中，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$.
（1）求$c$的值，并用含$a$的代数式表示$b$；
（2）直线$AB$上有一点$C(m,5)$，将点$C$向右平移4个单位长度，得到点$D$，若抛物线与线段$CD$只有一个公共点，求$a$的取值范围.

答案： （1）$c=-4$，$b=2a - 3$；（2）$0＜a≤4$
解析：（1）过$A(0,-4)$得$c=-4$；过$B(-2,2)$得$2=4a - 2b - 4$，$b=2a - 3$。（2）直线$AB:y=-3x - 4$，$C(-3,5)$，$D(1,5)$。方程$ax^2 + (2a - 3)x - 9=0$在$[-3,1]$有一解，由根的分布得$0＜a≤4$。

23. （1）生活情境
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长$MP = 4\ m$、宽$MN = 1\ m$的矩形水池$MNOP$进行改造. 如图（1），首先对水池$MNOP$进行加长，改造后的水池$MNQR$记为水池1；再以$PR$为一边，建造一个周长为12 m的矩形水池$PRST$，记为水池2.
（2）建立模型
设$PR$长为$x\ m(x＞0)$，水池1的底面积为$y_1\ m^2$，水池2的底面积为$y_2\ m^2$，则$y_1$关于$x$的函数解析式为$y_1 = x + 4(x＞0)$，$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=-x^2 + 6x(0＜x＜6)$，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图（2）所示.
（3）问题解决
① 当$PR$的长度为__________m时，水池2的底面积最大，最大底面积为__________$m^2$.
② 在图（2）中，点$C$的坐标为__________，点$E$的坐标为__________.
③ 当水池1的底面积大于水池2的底面积时，$x$的取值范围是__________.
④ 当水池2的底面积大于水池1的底面积时，求两个水池底面积之差的最大值和此时$x$的值.

答案： ①3，9；②(1,5)，(4,8)；③$0＜x＜1$或$x＞4$；④最大值$\frac{9}{4}\ m^2$，$x=\frac{5}{2}\ m$
解析：①$y_2=-x^2 + 6x$对称轴$x=3$，最大面积9。②解方程$x + 4=-x^2 + 6x$得$x=1$或4，$C(1,5)$，$E(4,8)$。③$x + 4＞-x^2 + 6x$得$0＜x＜1$或$x＞4$。④$y_2 - y_1=-x^2 + 5x - 4$，对称轴$x=\frac{5}{2}$，最大值$\frac{9}{4}$。