《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

4. 在某场篮球比赛中，李飞在距篮圈中心正下方7 m处跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线. 当球运行到距离李飞的水平距离为4 m时，达到最大高度3.86 m，然后准确落入篮圈. 已知篮圈到地面的距离为3.05 m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
（2）李飞身高1.84 m，在这次跳投中，球在他头顶上方0.3 m处出手，问：球出手时，李飞跳离地面的高度是多少？

答案： （1）设抛物线解析式为$ y = a(x - 4)^2 + 3.86 $，篮圈坐标为$ (7, 3.05) $.
代入得：$ 3.05 = a(7 - 4)^2 + 3.86 $，解得$ a = -0.01 $.
$ \therefore y = -0.01(x - 4)^2 + 3.86 $.
（2）当$ x = 0 $时，$ y = -0.01 × 16 + 3.86 = 3.7 \, m $.
球出手高度为$ 3.7 \, m $，李飞跳离地面高度为$ 3.7 - 0.3 - 1.84 = 1.56 \, m $.
答：（1）$ y = -0.01(x - 4)^2 + 3.86 $；（2）1.56 m.

5. 某种音乐喷泉的形状是抛物线，如图所示是它的示意图，喷头$ A $到地面$ BC $的距离$ AO $为5 m，抛物线$ AEB $与$ AFC $关于$ AO $对称，点$ D $在抛物线$ AFC $的最高点，离地面$ BC $的距离为6 m，到$ AO $的距离为1 m. 已知喷泉的落地点中，$ B $，$ C $间距离最远.
（1）请建立合适的平面直角坐标系，求抛物线$ AFC $的解析式.
（2）要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径$ d $必须满足什么条件？

答案： （1）以$ O $为原点，$ BC $为$ x $轴，$ AO $为$ y $轴建立坐标系.
则$ A(0, 5) $，$ D(1, 6) $，设抛物线$ AFC $解析式为$ y = a(x - 1)^2 + 6 $.
代入$ A(0, 5) $得$ 5 = a(0 - 1)^2 + 6 $，解得$ a = -1 $.
$ \therefore y = -(x - 1)^2 + 6 $.
（2）令$ y = 0 $，则$ -(x - 1)^2 + 6 = 0 $，解得$ x = 1 \pm \sqrt{6} $.
$ C $点坐标为$ (1 + \sqrt{6}, 0) $，同理$ B(-1 - \sqrt{6}, 0) $，$ BC = 2(1 + \sqrt{6}) $.
$ \therefore d \geq 2(1 + \sqrt{6}) \, m $.
答：（1）$ y = -(x - 1)^2 + 6 $；（2）直径$ d $至少为$ 2(1 + \sqrt{6}) \, m $.