《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

11.（1）阅读材料我们学过一元一次方程、二元（三元）一次方程组、一元二次方程、分式方程，虽然它们的解法不尽相同，但都有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$，可以通过因式分解把它转化为$x(x^2 - 6x + 8) = 0$，解方程$x = 0$和$x^2 - 6x + 8 = 0$即可得到方程$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$的解．（2）直接应用方程$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$的解是$x_1 = 0$，$x_2 = $______，$x_3 = $______．（3）类比迁移解方程：$\sqrt{x + 2} = x$．（4）问题解决如图，已知矩形草坪$ABCD$的长$AD = 8m$，宽$AB = 3m$，小华把一根长为$10m$的绳子的一端固定在点$B$处，沿草坪边$BA$，$AP$走到点$P$处，把长绳$PB$段拉直并固定在点$P$处，然后沿草坪边$PD$，$DC$走到点$C$处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点$C$处．求$AP$的长．（第11题）

答案： （2）2；4
解析：$x^3 - 6x^2 + 8x = x(x^2 - 6x + 8) = x(x - 2)(x - 4) = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$或$x = 4$。
（3）$\sqrt{x + 2} = x$
两边平方得$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
解得$x = 2$或$x = -1$
经检验，$x = -1$时，$\sqrt{-1 + 2} = 1 \neq -1$，舍去，故$x = 2$
（4）设$AP = xm$，则$PD = (8 - x)m$，$PB = \sqrt{x^2 + 3^2}$，$PC = 10 - PB$
$PC^2 = PD^2 + DC^2$，即$(10 - \sqrt{x^2 + 9})^2 = (8 - x)^2 + 3^2$
展开得$100 - 20\sqrt{x^2 + 9} + x^2 + 9 = 64 - 16x + x^2 + 9$
化简得$20\sqrt{x^2 + 9} = 16x + 36$
$5\sqrt{x^2 + 9} = 4x + 9$
两边平方得$25(x^2 + 9) = 16x^2 + 72x + 81$
$9x^2 - 72x + 144 = 0$
$(x - 4)^2 = 0$
解得$x = 4$，即$AP = 4m$