《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

4. 关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + kx - 2 = 0 $的根的情况是（ ）.
A. 有两个不等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 无实数根

答案： A
解析：判别式$\Delta = k^2 - 4 × 1 × (-2) = k^2 + 8$，$k^2 \geq 0$，则$\Delta ＞ 0$，方程有两个不等实根，故选A.

5. 方程$(x + 2)(x - 1) = x + 2$的解是（ ）.
A. $ x = 0 $
B. $ x = -2 $
C. $ x = -2 $或$ x = 1 $
D. $ x = -2 $或$ x = 2 $

答案： D
解析：移项得$(x + 2)(x - 1) - (x + 2) = 0$，$(x + 2)(x - 2) = 0$，解得$x = -2$或$x = 2$，故选D.

6. 解下列方程：①$ 3x^2 - 27 = 0 $；②$ x^2 - 3x - 1 = 0 $；③$(x + 2)(x + 4) = x + 2$；④$ 2(3x - 1)^2 = 3x - 1 $. 较简便的方法是（ ）.
A. 依次用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B. 依次用因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D. ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法

答案： D
解析：①可化为$x^2 = 9$，直接开平方法；②不能因式分解，用公式法；③移项后提公因式$(x + 2)$，因式分解法；④移项后提公因式$(3x - 1)$，因式分解法，故选D.

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$BC = a$，$AC = b$. 以点$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧，交线段$AB$于点$D$；以点$A$为圆心、$AD$的长为半径画弧，交线段$AC$于点$E$. 下列哪条线段的长度是方程$ x^2 + 2ax - b^2 = 0 $的一个根？（ ）
A. 线段$ BC $的长
B. 线段$ AD $的长
C. 线段$ EC $的长
D. 线段$ AC $的长

答案： B
解析：$AB = \sqrt{a^2 + b^2}$，$BD = BC = a$，$AD = AB - BD = \sqrt{a^2 + b^2} - a$. 方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的根为$x = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2 + 4b^2}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2 + b^2}$，正根为$-a + \sqrt{a^2 + b^2} = AD$，故选B.

8. 用公式法解方程$ 5x + 2 = 3x^2 $. 将方程化为一般形式，得______，$ b^2 - 4ac = $______，方程的两个根为______.

答案： $3x^2 - 5x - 2 = 0$；49；$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{1}{3}$
解析：一般形式$3x^2 - 5x - 2 = 0$，$a = 3$，$b = -5$，$c = -2$，$\Delta = 25 + 24 = 49$，根为$x = \frac{5 \pm 7}{6}$，即$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{1}{3}$.

9. 有1个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，则每轮传染中平均1个人传染的人数是______.

答案： 11
解析：设每轮传染中平均1人传染$ x $人，第一轮后$1 + x$人患病，第二轮后$(1 + x)x + (1 + x) = (1 + x)^2 = 144$，解得$x = 11$（$x = -13$舍）.

10. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为$ 900\ m^2 $的矩形绿地，并且长比宽多10 m. 设绿地的宽为$ x $m，根据题意，可列方程为______.

答案： $x(x + 10) = 900$
解析：长为$(x + 10)$m，面积$x(x + 10) = 900$.

11. 如图所示是某月的日历，在此日历上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如8，14，15，16，17，24）. 如果圈出的6个数中，最大数$ x $与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为______.

答案： $x(x - 16) = 225$
解析：最小数比最大数小16（如图中24 - 8 = 16），方程为$x(x - 16) = 225$.