《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

11. 定义：若二次函数$ y=a_1x^2 + b_1x + c_1 $（$ a_1 \neq 0 $，$ a_1 $，$ b_1 $，$ c_1 $是常数）与$ y=a_2x^2 + b_2x + c_2 $（$ a_2 \neq 0 $，$ a_2 $，$ b_2 $，$ c_2 $是常数）满足$ a_1 + a_2=0 $，$ b_1=b_2 $，$ c_1 + c_2=0 $，则称这两个函数互为“旋转函数”.
根据定义解决下列问题.
（1）函数$ y=x^2 - 4x + 3 $的“旋转函数”是_______.
（2）若二次函数$ y=5x^2 + (m - 1)x + n $与$ y=-5x^2 - nx - 3 $互为“旋转函数”，求$ (m + n)^{2022} $的值.
（3）已知函数$ y=2(x - 1)(x + 3) $的图象与$ x $轴交于$ A $，$ B $两点，与$ y $轴交于点$ C $，点$ A $，$ B $，$ C $关于原点的对称点分别是点$ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $. 求证：经过点$ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $的二次函数与$ y=2(x - 1)(x + 3) $互为“旋转函数”.

答案： （1）$ y=-x^2 - 4x - 3 $
解析：$ a_2=-1 $，$ b_2=-4 $，$ c_2=-3 $，故函数为$ y=-x^2 - 4x - 3 $.
（2）1
解析：由定义得$ m - 1=-n $，$ n - 3=0 \Rightarrow n=3 $，则$ m=-2 $，$ m + n=1 $，$ (m + n)^{2022}=1 $.
（3）证明：$ y=2(x - 1)(x + 3)=2x^2 + 4x - 6 $，$ A(1,0) $，$ B(-3,0) $，$ C(0,-6) $. 对称点$ A_1(-1,0) $，$ B_1(3,0) $，$ C_1(0,6) $. 设过$ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $的抛物线为$ y=-2x^2 + 4x + 6 $，满足$ a_1 + a_2=0 $，$ b_1=b_2 $，$ c_1 + c_2=0 $，故互为旋转函数.