《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

8. 如图，$ \triangle ABC $与$ \triangle DEC $关于点$ C $成中心对称，$ AB=\sqrt{5} $，$ AE=3 $，$ \angle D=90^\circ $，则$ AC $的长为______.

答案： $ \frac{3}{2} $
中心对称得$ AC=CE $，$ AE=AC+CE=2AC=3 $，故$ AC=\frac{3}{2} $.

10. 如图，在正方形$ ABCD $中，$ AD=4 $，$ E $，$ F $分别是$ CD $，$ BC $上的点，且$ \angle EAF=45^\circ $，$ EC=1 $，将$ \triangle ADE $绕点$ A $沿顺时针方向旋转$ 90^\circ $后与$ \triangle ABG $重合，连接$ EF $. 给出下列结论：① $ DE+BF=EF $；② $ BF=\frac{4}{7} $；③ $ AF=\frac{30}{7} $. 其中正确的是______（填序号）.

答案： ①②
①旋转后$ \triangle AGF \cong \triangle AEF $，$ EF=GF=DE+BF $，正确；②设$ BF=x $，$ (3+x)^2=1^2+(4-x)^2 $，解得$ x=\frac{4}{7} $，正确；③$ AF=\sqrt{4^2+(\frac{4}{7})^2}=\frac{20\sqrt{2}}{7}\neq\frac{30}{7} $，错误. 故填①②.

11. 如图，将边长为$ \sqrt{3} $的正方形$ ABCD $绕点$ A $逆时针方向旋转$ 30^\circ $后得到正方形$ AEFH $，求图中阴影部分的面积.

答案： $ 3-\sqrt{3} $
设$ EF $与$ BC $交于$ G $，$ \angle BAG=30^\circ $，$ BG=AB\tan30^\circ=1 $，$ S_{\triangle ABG}=\frac{\sqrt{3}}{2} $，阴影面积$ (\sqrt{3})^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}=3-\sqrt{3} $.