《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

10. 某中学准备用24m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园（墙足够长），怎样使用篱笆能使所围成的花园面积最大？小东说：“这好办，设计成边长为8m的正方形花园就可以了，因为用同样长的材料，正方形一定比长方形面积大.”小华听完却摇了摇头. 聪明的你，请为该中学设计一下这个花园吧！（需要写出具体过程）

答案： 设宽为y m，长为$ 24 - 2y $ m，面积$ S=y(24 - 2y)=-2y^{2}+24y $，对称轴$ y=6 $，长$ 12m $，宽$ 6m $，最大面积$ 72m^{2} $.
解析：正方形时面积$ 8×8=64m^{2} $，而长12m、宽6m时面积72m²更大，故设计为长12m（靠墙）、宽6m的矩形.

11. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程. 如图，以发射点$ O $为原点，地平线为$ x $轴，垂直于地面的直线为$ y $轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线$ y = ax^2 + x $和直线$ y = -\frac{1}{2}x + b $. 其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级.
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km，
① 求$ a $，$ b $的值；
② 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离.
（2）直接写出$ a $满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.

答案： （1）① 抛物线$ y = ax^2 + x $过点$ (9, 3.6) $，
代入得：$ 3.6 = a × 9^2 + 9 $，解得$ a = -\frac{1}{15} $.
直线$ y = -\frac{1}{2}x + b $过点$ (9, 3.6) $，
代入得：$ 3.6 = -\frac{1}{2} × 9 + b $，解得$ b = 8.1 $.
② 抛物线$ y = -\frac{1}{15}x^2 + x $的对称轴为$ x = -\frac{1}{2 × (-\frac{1}{15})} = 7.5 $，
最高点纵坐标为$ y = -\frac{1}{15} × (7.5)^2 + 7.5 = 3.75 \, km $.
令$ y = 3.75 - 1.35 = 2.4 $，则$ -\frac{1}{15}x^2 + x = 2.4 $，
整理得$ x^2 - 15x + 36 = 0 $，解得$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 12 $.
两个位置之间的距离为$ 12 - 3 = 9 \, km $.
（2）火箭落地点时$ y = 0 $，由$ ax^2 + x = 0 $得$ x(ax + 1) = 0 $，
解得$ x = 0 $（发射点）或$ x = -\frac{1}{a} $.
由题意$ -\frac{1}{a} ＞ 15 $，且$ a ＜ 0 $，解得$ a ＜ -\frac{1}{15} $.
答：（1）① $ a = -\frac{1}{15} $，$ b = 8.1 $；② 9 km；（2）$ a ＜ -\frac{1}{15} $.