《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

5. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=3 cm，则螺帽边长a=______cm.

答案： $\sqrt{3}$
解析：正六边形对边距离=2×边心距=2×(a·$\frac{\sqrt{3}}{2}$)=a$\sqrt{3}$=b=3，
∴a=3/$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.

6. 如图，在8×8的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心、OA为半径作圆.
（1）请仅用无刻度的直尺在图（1）中画出⊙O的内接正方形ABCD，在图（2）中画出⊙O的内接正六边形ABCDEF.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在图（2）的条件下，连接AC，CE，EA. 若△ACE的面积为$48\sqrt{3}$，求正六边形ABCDEF的周长.

答案： （1）作图略；（2）48
解析：（2）设正六边形边长为a，△ACE是等边三角形，边长=2a·sin60°=a$\sqrt{3}$.
面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{3})^2=48\sqrt{3}$，解得a=8，周长=6×8=48.

7. 如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为______.

答案： $2\sqrt{2}:3$
解析：设半径为R，正方形边长=R$\sqrt{2}$，周长=4R$\sqrt{2}$；正六边形边长=R，周长=6R，比=4$\sqrt{2}$:6=2$\sqrt{2}$:3.

8. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是______.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{8}$
解析：边心距分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，构成直角三角形，面积=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$.

9. 如图（1），正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读作图过程，并回答下列问题. 作法如图（2）：①作直径AF；②以F为圆心、FO为半径作圆弧，与⊙O交于M，N两点；③连接AM，MN，AN.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）在⊙O上依次截取等于$\widehat{DN}$的弧，若顺次连接各分点所得多边形为正n边形，求n的值.

答案： （1）108°；（2）是，理由见解析；（3）15
解析：（1）正五边形内角=(5-2)×180°/5=108°.
（2）∠MAN=60°（AF为直径，∠AMF=30°），AM=AN，
∴△AMN是正三角形.
（3）$\widehat{DN}$对应圆心角=24°，n=360°/24°=15.