《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$AB=1$，$O$为$AB$上一点（不与点$A$，$B$重合），$BO=m(m＞0)$. 若以点$O$为圆心、$\frac{1}{2}$为半径作圆，则当$m$在什么范围内取值时，直线$BC$与$\odot O$相离、相切、相交？

答案： 相离：$\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜1$；相切：$m=\frac{\sqrt{3}}{3}$；相交：$0＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：过$O$作$OD\perp BC$于$D$，$\angle B=60^\circ$，$OD=BO\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}m$。
相离：$OD＞\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}m＞\frac{1}{2}$，$m＞\frac{\sqrt{3}}{3}$；
相切：$OD=\frac{1}{2}$，$m=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
相交：$OD＜\frac{1}{2}$，$0＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}$（$m＜1$）。