《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

结构梳理填空：①______；②______；③______．

答案： 公式；配方；因式分解

1. 解方程$5(2x - 3)^2 = (2x - 3)$最适当的方法是（ ）．A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法

答案： D
解析：方程移项得$5(2x - 3)^2 - (2x - 3) = 0$，提取公因式$(2x - 3)$可因式分解，故选D。

2. 给出下列方程：①$x^2 - 10x = 0$，②$(x - 8)^2 = 6$，③$x^2 + \sqrt{3}x - 2 = 0$．解上述方程适当的方法分别为（ ）．A. ①配方法，②直接开平方法，③公式法B. ①因式分解法，②直接开平方法，③公式法C. ①公式法，②因式分解法，③配方法D. ①配方法，②直接开平方法，③因式分解法

答案： B
解析：①$x^2 - 10x = 0$可因式分解为$x(x - 10) = 0$；②$(x - 8)^2 = 6$适合直接开平方法；③$x^2 + \sqrt{3}x - 2 = 0$适合公式法，故选B。

3. 如果$x = 3$是方程$x^2 + ax - 12 = 0$的一个根，那么另一个根是（ ）．A. 2B. -2C. -4D. 4

答案： C
解析：设另一根为$x_2$，由韦达定理$3x_2 = -12$，$x_2 = -4$，故选C。

4. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^2 - 9x + 18 = 0$的两个根，则等腰三角形的底边长为______．

答案： 3
解析：方程$x^2 - 9x + 18 = 0$的根为$x = 3$或$x = 6$。若腰长为3，底边长为6，$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系；若腰长为6，底边长为3，满足条件，故底边长为3。

5. 在实数范围内定义一种新的运算“¤”，其规则为$a ¤ b = a^2 - b^2$．根据这个规则，方程$(x + 2) ¤ 3 = 0$的解为______．

答案： 1或-5
解析：$(x + 2) ¤ 3 = (x + 2)^2 - 3^2 = 0$，$(x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = 0$，$(x - 1)(x + 5) = 0$，解得$x = 1$或$x = -5$。

6. 设$a$，$b$是直角三角形两直角边的边长，且$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2 + 1) = 20$，则这个直角三角形的斜边长为______．

答案： 2
解析：设$c$为斜边长，则$a^2 + b^2 = c^2$，原方程为$c^2(c^2 + 1) = 20$，设$t = c^2$，$t(t + 1) = 20$，$t^2 + t - 20 = 0$，$(t + 5)(t - 4) = 0$，$t = 4$（$t = -5$舍），$c = 2$。