《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

7. 选择适当的方法解方程：（1）$(x + 1)^2 = 4x$；（2）$x^2 - 2\sqrt{3}x - 9 = 0$；（3）$2(x - 3)^2 = 9 - x^2$；（4）$9(x - 1)^2 = 4(x - 5)^2$．

答案： （1）$(x + 1)^2 = 4x$
$x^2 + 2x + 1 = 4x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
（2）$x^2 - 2\sqrt{3}x - 9 = 0$
$a = 1$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = -9$
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × 1 × (-9) = 12 + 36 = 48$
$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$
解得$x_1 = 3\sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$
（3）$2(x - 3)^2 = 9 - x^2$
$2(x^2 - 6x + 9) + x^2 - 9 = 0$
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$(x - 1)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$
（4）$9(x - 1)^2 = 4(x - 5)^2$
$[3(x - 1)]^2 - [2(x - 5)]^2 = 0$
$[3x - 3 + 2x - 10][3x - 3 - 2x + 10] = 0$
$(5x - 13)(x + 7) = 0$
解得$x_1 = \frac{13}{5}$，$x_2 = -7$

8. 已知一元二次方程的两个根为3和5，则该方程可以是______．

答案： $x^2 - 8x + 15 = 0$（答案不唯一）
解析：以3和5为根的方程可写为$(x - 3)(x - 5) = 0$，即$x^2 - 8x + 15 = 0$。

9. 已知方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的解是$x_1 = 4$，$x_2 = -5$，则方程$a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = 0$（$a \neq 0$）的解是______．

答案： 3或-6
解析：令$y = x + 1$，则方程$ay^2 + by + c = 0$的解为$y = 4$或$y = -5$，即$x + 1 = 4$或$x + 1 = -5$，解得$x = 3$或$x = -6$。

10. 由多项式乘法知$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$，将此式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$．示例：分解因式$x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2 + 3)x + 2 × 3 = (x + 2)(x + 3)$．（1）尝试：分解因式$x^2 + 6x + 8 = (x + \_\_\_\_)(x + \_\_\_\_)$．（2）应用（请用上述方法解方程）：①$x^2 - 3x - 4 = 0$；②$x^2 - 7x + 12 = 0$．（3）拓展：用因式分解法解方程$x^2 - kx - 8 = 0$时，得到的两个根均为整数，则$k$的值为______．

答案： （1）2；4
（2）①$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = -1$
②$x^2 - 7x + 12 = 0$
$(x - 3)(x - 4) = 0$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 4$
（3）$\pm 2$，$\pm 7$