《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

1. 下列方程一定是关于$ x $的一元二次方程的是（ ）.
A. $ ax^2 + bx + c = 0 $
B. $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 $
C. $ (x + 1)(x - 1) = x^2 + x $
D. $ (x - 1)(x + 2) = 1 $

答案： D
解析：A中$a = 0$时不是；B是分式方程；C化简后为$-1 = x$，一次方程；D化简后$x^2 + x - 3 = 0$，是一元二次方程，故选D.

2. 一元二次方程$ 2x^2 = 1 $的根是（ ）.
A. $ \sqrt{2} $
B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C. $ \pm \sqrt{2} $
D. $ \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： D
解析：$x^2 = \frac{1}{2}$，$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，故选D.

3. 关于$ x $的一元二次方程$(a - 1)x^2 + x + a^2 - 1 = 0$的一个根是0，则$ a $的值为（ ）.
A. 1
B. -1
C. 1或-1
D. $ \frac{1}{2} $

答案： B
解析：将$x = 0$代入得$a^2 - 1 = 0$，$a = \pm 1$，$a = 1$时方程不是二次方程，故$a = -1$，选B.

4. 用配方法解方程$ x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 $时，配方后可得（ ）.
A. $ (x - \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} $
B. $ (x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16} $
C. $ (x + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} $
D. $ (x + \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16} $

答案： B
解析：$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$，$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$，$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$，故选B.

5. 用公式法解一元二次方程$(2x - 1)(x + 2) = 1$时，首先要确定$ a$，$b$，$c $的值，下列$ a$，$b$，$c $的值正确的是（ ）.
A. $ a = 2$，$b = -3$，$c = 3 $
B. $ a = -2$，$b = 3$，$c = 3 $
C. $ a = 2$，$b = 3$，$c = -3 $
D. $ a = 1$，$b = -3$，$c = 3 $

答案： C
解析：方程化为$2x^2 + 3x - 3 = 0$，$a = 2$，$b = 3$，$c = -3$，故选C.

6. 下列关于$ x $的一元二次方程中，不一定有实数根的是（ ）.
A. $ x^2 + x - 1 = 0 $
B. $ x^2 - 2x + 1 = 0 $
C. $ x^2 - mx - 1 = 0 $
D. $ (x - \sqrt{2})(\sqrt{2} + x) = m $

答案： D
解析：A$\Delta = 5 ＞ 0$；B$\Delta = 0$；C$\Delta = m^2 + 4 ＞ 0$；D$x^2 - 2 = m$，$m ＜ -2$时无实根，故选D.

7. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（ ）.
A. 48
B. 56
C. 84
D. 96

答案： C
解析：设十位数字$x$，个位$x - 4$，两位数$10x + x - 4 = 11x - 4$，$x^2 + (x - 4)^2 = 11x - 4 - 4$，$2x^2 - 19x + 24 = 0$，$x = 8$（$x = 1.5$舍），两位数84，故选C.

8. 新学期开学，每位同学都向全班其他同学赠送一句励志的话语，班主任把全班2450条励志话语制作成了“励志墙”，以此激励学生努力学习. 如果全班有x名同学，根据题意，可列出方程为（ ）.
A. $x(x+1)=2450$
B. $x(x-1)=2450$
C. $\frac{1}{2}x(x-1)=2450$
D. $2x(x+1)=2450$

答案： B
解析：每位同学赠$(x-1)$句，共$x(x-1)$条，故$x(x-1)=2450$. 故选B.