《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

1. 如图是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点$ A $处被击出，落地前在点$ B $处被对方接住. 已知板球经过的路线是抛物线，其解析式为$ y = -\frac{1}{32}x^2 + \frac{1}{4}x + 1 $，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）.
A. 1 B. $ \frac{3}{2} $ C. $ \frac{8}{3} $ D. 4

答案： B
解析：对称轴$ x = -\frac{\frac{1}{4}}{2 × (-\frac{1}{32})} = 4 $，代入解析式得$ y = -\frac{1}{32} × 16 + \frac{1}{4} × 4 + 1 = \frac{3}{2} $. 故选B.

2. 如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线. 若取水平方向为$ x $轴，拱桥桥洞的最高点$ O $为原点建立平面直角坐标系，它可以近似地用函数$ y = -\frac{1}{8}x^2 $表示（单位：m）. 已知目前桥下水面宽4 m，若水位下降1.5 m，则水面宽为______m.

答案： 8
解析：原水面宽4 m时，$ x = \pm 2 $，代入$ y = -\frac{1}{8}x^2 = -\frac{1}{2} $. 水位下降1.5 m后，$ y = -\frac{1}{2} - 1.5 = -2 $，则$ -2 = -\frac{1}{8}x^2 $，解得$ x = \pm 4 $，水面宽为$ 8 \, m $.

3. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，足球距离地面的高度$ h $（单位：m）与足球被踢出后经过的时间$ t $（单位：s）之间的关系见下表.
| $ t $ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... |
|--------|---|---|---|---|---|---|---|---|-----|
| $ h $ | 0 | 8 | 14 | 18 | 20 | 20 | 18 | 14 | ... |
给出下列结论：① 足球距离地面的最大高度为20 m；② 足球被踢出4.5 s时，距离地面最高；③ 足球被踢出8 s时落地；④ 足球被踢出8 s时，距离地面的高度是8 m. 其中正确结论的序号是______.

答案： ②④
解析：设$ h = at^2 + bt $，代入$ (1,8) $，$ (2,14) $得$ \begin{cases} a + b = 8 \\ 4a + 2b = 14 \end{cases} $，解得$ a = -1 $，$ b = 9 $，即$ h = -t^2 + 9t $. 对称轴$ t = 4.5 $，最大高度$ h = 20.25 \, m $，故①错误，②正确；落地时$ h = 0 $，解得$ t = 9 \, s $，故③错误；$ t = 8 $时，$ h = -64 + 72 = 8 \, m $，④正确. 所以正确结论②④.