《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

8. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则⊙O的半径为________．

答案： 4
解析：
∵∠ACD=∠CAB，
∴弧AD=弧BC（圆周角相等所对弧相等）。∠ACB=∠ADC=90°（直径所对圆周角），
∴△ACD∽△ABC，AD/AC=AC/AB，即2/4=4/AB，AB=8，半径为8÷2=4。

9. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD=CD．
（2）当E为弧AD的中点时，
① 求证：△ABC为等边三角形；
② 求DE的长．

答案： （1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD（等腰三角形三线合一）。
（2）①证明：E为弧AD中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAE，∠BAC=3∠BAE，∠AEB=90°，设∠BAE=α，∠ABE=90°-α，AB=AC，∠ABC=∠C=90°-α，∠BAC+2∠ABC=180°，3α+2(90°-α)=180°，α=30°，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形。
②解：AB=2，AD=√3，AE=AD·cos30°=3/2，DE=AD - AE=√3 - 3/2（或用勾股定理，DE=√(AE²+AD²-2AE·AD·cos60°)=1）。

10. 如图所示，AB是⊙O的直径，C为弧AE的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF=CF．（选择小明的方法：延长CD，交⊙O于点H，运用“垂径定理”证明）

答案： 证明：延长CD交⊙O于H，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴弧AC=弧AH（垂径定理）。
∵C为弧AE中点，
∴弧AC=弧CE，
∴弧AH=弧CE，
∴∠ACH=∠CAE（等弧所对圆周角相等），
∴AF=CF。