《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

6. 某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边$ AB $，$ AC $，$ BD $和抛物线的一段（点$ E $为抛物线的顶点）构成. 如图，以$ AB $的中点$ O $为原点，分别以直线$ AB $和抛物线的对称轴为$ x $轴和$ y $轴，建立平面直角坐标系. 其中，$ AB = 12 \, m $，$ AC = BD = 3 \, m $，$ OE = 7 \, m $.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1 m. 若行车道的总宽度$ MN $为8 m，且$ O $为$ MN $的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度.（车道分界线的宽度忽略不计）

答案： （1）由题意得$ E(0, 7) $，$ D(6, 3) $，设抛物线解析式为$ y = ax^2 + 7 $.
代入$ D(6, 3) $得$ 3 = 36a + 7 $，解得$ a = -\frac{1}{9} $.
$ \therefore y = -\frac{1}{9}x^2 + 7 $.
（2）$ M(-4, 0) $，$ N(4, 0) $，当$ x = 4 $时，$ y = -\frac{1}{9} × 16 + 7 = \frac{47}{9} \approx 5.22 \, m $.
限制高度为$ \frac{47}{9} - 1 = \frac{38}{9} \approx 4.2 \, m $.
答：（1）$ y = -\frac{1}{9}x^2 + 7 $；（2）车辆限制高度约为4.2 m.

7. 灌溉车为绿化带浇水. 浇水的大致情况如图，喷水口$ H $离地竖直高度$ OH $为1.5 m. 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分；把绿化带横截面抽象为矩形$ DEFG $，其水平宽度$ DE = 3 \, m $，竖直高度$ EF = 0.5 \, m $. 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点$ A $离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到绿化带的距离$ OD $为$ d $（单位：m）.
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程$ OC $.
（2）求下边缘抛物线与$ x $轴的正半轴交点$ B $的坐标.
（3）要使灌溉车喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出$ d $的取值范围.

答案： （1）以$ O $为原点，水平方向为$ x $轴建立坐标系.
$ H(0, 1.5) $，$ A(2, 2) $，设上边缘抛物线解析式为$ y = a(x - 2)^2 + 2 $.
代入$ H(0, 1.5) $得$ 1.5 = 4a + 2 $，解得$ a = -\frac{1}{8} $.
$ \therefore y = -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + 2 $.
令$ y = 0 $，则$ -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + 2 = 0 $，解得$ x = 6 $（$ x = -2 $舍去），$ OC = 6 \, m $.
（2）下边缘抛物线由上边缘向左平移2 m得到，解析式为$ y = -\frac{1}{8}(x - 0)^2 + 2 $.
令$ y = 0 $，得$ x = 4 $（$ x = -4 $舍去），$ B(4, 0) $.
（3）$ 1 \leq d \leq 3 $