《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

9. 如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D为$\widehat{AC}$的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：DE//AC.
（2）若OA=AE=4，求AC的长.

答案： （1）见解析；（2）$4\sqrt{3}$
解析：（1）连接OD，
∵D是$\widehat{AC}$中点，
∴OD⊥AC.
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴DE//AC.
（2）OE=OA+AE=8，OD=4，DE=$\sqrt{OE^2-OD^2}=4\sqrt{3}$.
∵DE//AC，
∴△EDA∽△ECA，$\frac{DE}{AC}=\frac{AE}{AO}=1$，
∴AC=DE=4\sqrt{3}.

10. 如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80 cm，腰长为50 cm.
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径.
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少厘米？

答案： （1）$\frac{40}{3}$ cm；（2）$\frac{125}{3}$ cm
解析：（1）最大圆为内切圆，底边上的高h=30 cm，面积S=1200 cm²，周长l=180 cm，半径r=2S/l=2400/180=40/3 cm.
（2）最小覆盖圆为外接圆，由正弦定理$2R=\frac{BC}{\sin A}$，$\sin A=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，
∴R=80/(2×3/5)=100/3 cm？或用公式$R=\frac{abc}{4S}=\frac{50×50×80}{4×1200}=\frac{125}{3}$ cm. 正确答案为$\frac{125}{3}$ cm.