《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

12. 利用函数图象探究方程$ x(|x|-2)=\frac{1}{2} $的实数根的个数.
（1）设函数$ y=x(|x|-2) $，则这个函数的图象与直线$ y=\frac{1}{2} $的交点的______（填“横”或“纵”）坐标就是方程$ x(|x|-2)=\frac{1}{2} $的实数根.
（2）分类讨论：当$ x\leq0 $时，$ y=-x^{2}-2x $；当$ x＞0 $时，$ y= $______.
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当$ x\leq0 $时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点、连线，画出当$ x＞0 $时的函数图象.
（4）在给定的坐标系中画直线$ y=\frac{1}{2} $，观察图象可知方程$ x(|x|-2)=\frac{1}{2} $的实数根有______个.
（5）深入探究：若关于x的方程$ 2x(|x|-2)=m $有三个不等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是______.

答案： （1）横
（2）$ x^{2}-2x $
（4）3
（5）$ -2＜m＜0 $
解析：（4）$ x\leq0 $时$ -x^{2}-2x=\frac{1}{2} $有2个负根，$ x＞0 $时$ x^{2}-2x=\frac{1}{2} $有1个正根，共3个；（5）方程等价于$ x(|x|-2)=\frac{m}{2} $，图象有三个交点时$ 0＜\frac{m}{2}＜1 $（舍）或$ -1＜\frac{m}{2}＜0 $，即$ -2＜m＜0 $，此时三个根和为负.