《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

6. 一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，则这个一元二次方程是 ．

答案： $2x^2 + 3x - 5 = 0$
解析：根据一元二次方程一般形式$ax^2 + bx + c = 0$，代入系数得$2x^2 + 3x - 5 = 0$。

7. 已知一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根为1，则$m=$ ．

答案： 2
解析：将$x=1$代入方程得$1 - 3 + m = 0$，解得$m=2$。

8. 我国古代某著作中有这样一个“买椽多少”的问题（其大意如下）：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ．

答案： $3(x - 1) = \frac{6210}{x}$
解析：一株椽价钱为$\frac{6210}{x}$文，少拿一株后运费为$3(x - 1)$文，故方程为$3(x - 1) = \frac{6210}{x}$。

9. 已知m是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为 ．

答案： -4
解析：$(m + 5)(m - 1) = m^2 + 4m - 5$，由方程得$m^2 + 4m = 1$，代入得$1 - 5 = -4$。

10. 已知关于x的方程$(k - 1)(k - 2)x^2 + (k - 1)x + 5 = 0$．求：
（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程？
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．

答案： （1）$k\neq1$且$k\neq2$；（2）$k=2$，$x=-5$
解析：（1）一元二次方程需$(k - 1)(k - 2)\neq0$，即$k\neq1$且$k\neq2$。
（2）一元一次方程需$(k - 1)(k - 2)=0$且$k - 1\neq0$，解得$k=2$，方程为$x + 5 = 0$，$x=-5$。

11. 关于x的一元二次方程$2(x - 1)^2 + b(x - 1) + c = 0$化成一般形式后为$2x^2 - 3x - 1 = 0$，试求b，c的值．

答案： $b=1$，$c=-2$
解析：展开左边得$2x^2 + (b - 4)x + (2 - b + c) = 0$，对比系数：$b - 4 = -3$，$2 - b + c = -1$，解得$b=1$，$c=-2$。

12. 定义：关于x的一元二次方程$cx^2 + bx + a = 0$（其中a，b，c是常数，且$ac\neq0$）是关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（其中a，b，c是常数，且$ac\neq0$）的“友好方程”．例如：$-2x^2 - x + 1 = 0$是$x^2 - x - 2 = 0$的“友好方程”．
（1）概念感知
$2x^2 - 3x - 2 = 0$的“友好方程”是 ．

答案： $-2x^2 - 3x + 2 = 0$
解析：原方程$ax^2 + bx + c = 0$中$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，友好方程为$cx^2 + bx + a = 0$，即$-2x^2 - 3x + 2 = 0$。