《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

10. 探究圆内接特殊四边形的作法．
（1）小东设计的“作一个矩形，使其四个顶点都在圆上，并使其对角线所夹的锐角为60°”的尺规作图过程如下．
已知：⊙O．
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD所夹的锐角为60°．
作法：① 作⊙O的直径AC；② 以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③ 连接BO并延长交⊙O于点D，连接AB，BC，CD，DA，四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，完成下列问题：
① 使用直尺和圆规，作出矩形ABCD（保留作图痕迹）；
② 请证明所作出的矩形ABCD是满足条件的矩形．
（2）小明想作一个圆内接菱形，请你帮他画出来．你发现了什么？写出判断的过程．

答案： （1）②证明：AC为直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，同理∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD为矩形。AB=AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，即对角线AC，BD夹角为60°；（2）圆内接菱形是正方形，理由：菱形四边相等，所对弧相等，圆心角均为90°，故为正方形。