《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

9. 等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+n-1=0$的两个根，则n的值为（ ）.
A. 9
B. 10
C. 9或10
D. 8或10

答案： B
解析：①若$a=b$，则$\Delta=36-4(n-1)=0$，$n=10$，根为3,3，三边3,3,2成立；②若$a=2$，代入方程得$4-12+n-1=0$，$n=9$，方程根为2,4，三边2,4,2不满足三角形三边关系. 故$n=10$. 故选B.

10. P是线段AB上一点（$AP＞BP$），且满足$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，则称点P是线段AB的黄金分割点. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”. 如图，一片树叶中AB的长度为10 cm，P为AB的黄金分割点（$AP＞BP$），求叶柄BP的长度. 设$BP=x$ cm，则符合题意的方程是（ ）.
A. $(10-x)^{2}=10x$
B. $x^{2}=10(10-x)$
C. $x(10-x)=10^{2}$
D. $10(1-x)^{2}=10-x$

答案： A
解析：$AP=10-x$，由黄金分割定义$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，即$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{10-x}$，交叉得$(10-x)^{2}=10x$. 故选A.

11. 方程$x^{2}=3x$的根是__________.

答案： $x_{1}=0$，$x_{2}=3$
解析：移项得$x^{2}-3x=0$，$x(x-3)=0$，解得$x=0$或$x=3$.

12. 当$k=$__________时，二次三项式$x^{2}-2(k+1)x+k+7$是一个关于x的完全平方式.

答案： 2或-3
解析：$\Delta=[-2(k+1)]^{2}-4(k+7)=0$，化简得$k^{2}+k-6=0$，解得$k=2$或$k=-3$.

13. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程$x^{2}-7x+12=0$的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为__________.

答案： 5
解析：方程根为3和4，对角线长$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.

14. 已知实数x满足$(x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12=0$，则代数式$x^{2}-x+1$的值是__________.

答案： 7
解析：设$y=x^{2}-x$，方程$y^{2}-4y-12=0$，解得$y=6$（$y=-2$时方程无实根），$x^{2}-x+1=6+1=7$.

15. 如图，四边形ABCD、四边形EBGF、四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若$HM:EM=8:9$，$HD=2$，则AB的长为__________.

答案： 10
解析：小正方形边长设为$a$，$HNQD$边长$NQ=AH=a-2$，$BG=EM=\frac{9}{8}(a-2)$，$BG=CG=a-1$，则$\frac{9}{8}(a-2)=a-1$，解得$a=10$.

16. 解方程：
（1）$x^{2}+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}x$；
（2）$(x+1)(x-1)+2(x+3)=8$.

答案： （1）$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；（2）$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$
解析：（1）移项得$x^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{8}=0$，$\Delta=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-4×1×\frac{1}{8}=0$，$x=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（2）展开得$x^{2}-1+2x+6=8$，化简$x^{2}+2x-3=0$，解得$x=-3$或$x=1$.