《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

12. 证明勾股定理时常用到如图所示的图形，$a,b,c$是$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的边长，显然$AE=\sqrt{2}c$，我们把关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题．
（1）判断方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$是否是“弦系一元二次方程”，并说明理由．
（2）直接写出一个“弦系一元二次方程”．
（3）求证：关于$x$的“弦系一元二次方程”必有实数根．

答案： （1）是，理由见解析；（2）$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一）；（3）见解析
解析：（1）是。方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$中，$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$，$b=\sqrt{3}$，则$c=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$。$a^{2}+b^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=2 + 3=5=(\sqrt{5})^{2}=c^{2}$，故$a,b,c$可构成直角三角形边长，是弦系方程。
（2）取$a=3$，$b=4$，$c=5$（勾股数），方程为$3x^{2}+\sqrt{2}×5x + 4=0$即$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
（3）$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$。因$a,b,c$为直角三角形边长，不妨设$c$为斜边，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geq0$，故方程必有实根。