《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

5. 函数 $ y = mx^{m^2 - 2m - 9} $ 的图象是双曲线,且在每个象限内函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ m $ 的值是(B)。
A.$ -2 $
B.$ 4 $
C.$ 4 $ 或 $ -2 $
D.$ -1 $

答案： B

6. 已知函数 $ y = k(x + 1) $ 和 $ y = \frac{k}{x} $,那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是(B)。

A.
B.
C.
D.

答案： B

7. 反比例函数 $ y = \frac{1 - 2m}{x} $ 的图象上有两点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $,当 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 $ 时,有 $ y_1 ＜ y_2 $,则 $ m $ 的取值范围是(C)。
A.$ m ＜ 0 $
B.$ m ＞ 0 $
C.$ m ＜ \frac{1}{2} $
D.$ m ＞ \frac{1}{2} $

答案： C

8. 若同一坐标系中,直线 $ y = k_1x $ 与双曲线 $ y = \frac{k_2}{x} $ 无交点,则有(D)。
A.$ k_1 + k_2 ＞ 0 $
B.$ k_1 + k_2 ＜ 0 $
C.$ k_1k_2 ＞ 0 $
D.$ k_1k_2 ＜ 0 $

答案： D

1. $ Rt\triangle AOB $ 的顶点 $ A $ 是一次函数 $ y = -x + m + 3 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象在第二象限的交点,且 $ S_{Rt\triangle AOB} = 1 $,求点 $ A $ 的坐标。

答案： 解:设$A(x,y)$,
$\because S_{\triangle AOB}=1$,
$\therefore \dfrac{1}{2}×(-x)y=1$,$xy=-2$,
$\therefore A$在反比例函数解析式上,
$\therefore m=xy=-2$.
由题意得$\begin{cases} y=-x+1, \\ y=-\dfrac{2}{x}, \end{cases}$解得$x=2$,$y=-1$或
$x=-1$,$y=2$.
$\because$ 图象在第二象限,
$\therefore$ 点A的坐为$(-1,2)$.

2. 已知一次函数 $ y = -x + 8 $ 和反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $。
(1) $ k $ 满足什么条件时,这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？
(2) 设(1)中的两个交点为 $ A $、$ B $,试比较 $ \angle AOB $ 与 $ 90^{\circ} $ 的大小。

答案： 解:
(1)由$\begin{cases} y=-x+8 \\ y=\dfrac{k}{x} \end{cases}$得$x^{2}-8x+k=0$
因为有两个交点，所以$\Delta=(-8)^{2}-4k＞0$,即$k＜16$
当$k＜16$且$k\neq0$时,所给两个函数的图象有两个交点.
(2)因为$y=-x+8$的图象经过第一、二、四象限,
所以当$0＜k＜16$时, 双曲线的两个分支分别在第一、三象限,这两个函数图象的两个交点A和B在第一象限,所以$\angle AOB＜\angle xoy$,即$\angle AOB＜90^{\circ}$.
当$k＜0$时, 双曲线的两个分支分别在第二、四象限,这两个函数图象的两个交点A和B分别在第二、四象限,所以$\angle AOB＞\angle xoy$,即$\angle AOB＞90^{\circ}$.
综上所述,当$0＜k＜16$时,即$\angle AOB＜90^{\circ}$;当$k＜0$时,即$\angle AOB＞90^{\circ}$.