《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

5. 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 8\ cm$,$BC = 16\ cm$,点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $AB$ 向点 $B$ 以 $1\ cm/s$ 的速度移动,点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $BC$ 向点 $C$ 以 $2\ cm/s$ 的速度移动,如果点 $P$,$Q$ 同时出发,经过多长时间,$\triangle PBQ$ 与 $\triangle ABC$ 相似？试说明理由.

答案： 解:设经过x秒钟△PBQ与△ABC相似,则AP=x cm,BQ=2x cm,
∵AB=8 cm,BC=16 cm,
∴BP=AB - AP=(8 - x)cm,
∵∠B是公共角,
∴①当$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$,即$\frac{8 - x}{8}=\frac{2x}{16}$时,△PBQ∽△ABC,解得x = 4.②当$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$,即$\frac{8 - x}{16}=\frac{2x}{8}$时,△QBP∽△ABC,解得x = 1.6.
∴经过4秒或1.6秒,△PBQ与△ABC相似.

6. 如图,已知在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$,点 $E$,$F$ 分别在边 $AC$ 和边 $BC$ 上,且 $EF// AB$,将 $\triangle CEF$ 沿直线 $EF$ 折叠,点 $C$ 落在点 $D$ 处,$DE$,$DF$ 分别交边 $AB$ 于点 $M$ 和点 $N$,如果 $AD// BC$,求 $AE$ 的长.

答案： 解:连接AD,由折叠得:EF垂直平分CD,
∵EF//AB,
∴CD⊥AB,
∵AD//BC,∠ACB=90°,
∴∠EAD=90°,
∵∠ACD+∠DCB=90°=∠DCB+∠B,
∴△DAC∽△ACB,
∴$\frac{AD}{CA}=\frac{CA}{BC}$,即$\frac{AD}{6}=\frac{6}{8}$,
∴AD= $\frac{9}{2}$,设AE=x,则DE=EC=6 - x,在Rt△ADE中,由勾股定理得$(6 - x)^{2}=x^{2}+(\frac{9}{2})^{2}$,解得x= $\frac{21}{16}$,即AE的长为$\frac{21}{16}$.

7. $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 是两个全等的等腰直角三角形,$\angle BAC = \angle EDF = 90^{\circ}$,$\triangle DEF$ 的顶点 $E$ 与 $\triangle ABC$ 的斜边 $BC$ 的中点重合,将 $\triangle DEF$ 绕点 $E$ 旋转,旋转过程中,线段 $DE$ 与线段 $AB$ 相交于点 $P$,线段 $EF$ 与射线 $CA$ 相交于点 $Q$.
(1)如图①,当点 $Q$ 在线段 $AC$ 上,且 $AP = AQ$ 时,求证：$\triangle BPE\cong\triangle CQE$；
(2)如图②,当点 $Q$ 在线段 $CA$ 的延长线上时,求证：$\triangle BPE\backsim\triangle CEQ$；并求当 $BP = 2$,$CQ = 9$ 时 $BC$ 的长.

答案：
(1)证明:
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,在△BPE和△CQE中,$\left\{\begin{array}{l} BE=CE,\\ ∠B=∠C,\\ BP=CQ,\end{array}\right.$
∴△BPE≌△CQE(SAS).
(2)解:
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ,
∴$\frac{BP}{CE}=\frac{BE}{CQ}$,
∵BP=2,CQ=9,BE=CE,
∴$BE^{2}=18$,
∴BE=CE= $3\sqrt{2}$,
∴BC= $6\sqrt{2}$.