《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 用配方法解一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ $(a\neq0)$时：
$\because a\neq0$,方程两边同时除以 $a$ 得$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$,移项得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$,配方得$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$,即$(x +$$\frac{b}{2a}$$)^{2}=$$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$,当$b^{2}-4ac\geq0$时,原方程化为两个一元一次方程$x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$和$x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$\therefore x_{1}=$$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_{2}=$$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。

答案： $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$;$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$;$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$;$\frac{b}{2a}$;$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$;$b^{2}-4ac\geq0$;$x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$;$x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$;$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$;$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 方程 $x^{2}+2x - 2 = 0$ 的解为(C)。
A.$1\pm\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}\pm1$
C.$-1\pm\sqrt{3}$
D.$\pm\sqrt{3}$

答案： C

3. 下列方程没有实数根的是(C)。
A.$x^{2}+4x = 10$
B.$3x^{2}+8x - 3 = 0$
C.$x^{2}-2x + 3 = 0$
D.$(x - 2)(x - 3)= 12$

答案： C

4. 若方程 $x^{2}-4x + c = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $c$ 的值可以是(D)。
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

答案： D

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - m = 0$ 有实数根,则 $m$ 的取值范围是(A)。
A.$m\geqslant - 1$
B.$m\lt1$
C.$m\leqslant1$
D.$m\leqslant - 1$

答案： A

6. 用公式法解方程：
(1)$x^{2}-2x - 5 = 0$；
(2)$4x^{2}-12x - 7 = 0$；
(3)$\frac{3}{2}y^{2}+4y = 1$；
(4)$(x - 2)^{2}= (2x - 1)^{2}$。

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-2x - 5 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-2x - 5 = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，$c = -5$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-5)=4 + 20 = 24$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$。
所以$x_{1}=1+\sqrt{6}$，$x_{2}=1-\sqrt{6}$。
$(2)$ 解方程$4x^{2}-12x - 7 = 0$
解：在方程$4x^{2}-12x - 7 = 0$中，$a = 4$，$b = -12$，$c = -7$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×4×(-7)=144 + 112 = 256$。
代入求根公式：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{256}}{2×4}=\frac{12\pm16}{8}$。
即$x_{1}=\frac{12 + 16}{8}=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=\frac{12 - 16}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$。
$(3)$ 解方程$\frac{3}{2}y^{2}+4y = 1$
解：先将方程化为一般形式$\frac{3}{2}y^{2}+4y - 1 = 0$，此时$a=\frac{3}{2}$，$b = 4$，$c = -1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4×\frac{3}{2}×(-1)=16 + 6 = 22$。
代入求根公式：
$y=\frac{-4\pm\sqrt{22}}{2×\frac{3}{2}}=\frac{-4\pm\sqrt{22}}{3}$。
所以$y_{1}=\frac{-4+\sqrt{22}}{3}$，$y_{2}=\frac{-4-\sqrt{22}}{3}$。
$(4)$ 解方程$(x - 2)^{2}=(2x - 1)^{2}$
解：将方程展开得$x^{2}-4x + 4 = 4x^{2}-4x + 1$。
移项化为一般形式：$3x^{2}-3 = 0$，即$x^{2}-1 = 0$，此时$a = 1$，$b = 0$，$c = -1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4×1×(-1)=4$。
代入求根公式：
$x=\frac{-0\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\pm2}{2}$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
综上，答案依次为：$(1)x_{1}=1+\sqrt{6}$，$x_{2}=1-\sqrt{6}$；$(2)x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$；$(3)y_{1}=\frac{-4+\sqrt{22}}{3}$，$y_{2}=\frac{-4-\sqrt{22}}{3}$；$(4)x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。

1. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2(k + 1)x + k^{2}-1 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是(A)。
A.$k\geqslant - 1$
B.$k\gt - 1$
C.$k\leqslant - 1$
D.$k\lt - 1$

答案： A

2. 某公司 $2017$ 年缴税 $60$ 万元,$2019$ 年缴税 $80$ 万元,设该公司这两年缴税的年平均增长率为 $x$,则得到的方程为(D)。
A.$60 + 2x = 80$
B.$60(1 + x)= 80$
C.$60x^{2}= 80$
D.$60(1 + x)^{2}= 80$

答案： D

3. 若关于 $y$ 的一元二次方程 $ky^{2}-4y - 3 = 3y + 4$ 有实根,则 $k$ 的取值范围是(B)。
A.$k\gt - \frac{7}{4}$
B.$k\geqslant - \frac{7}{4}$ 且 $k\neq0$
C.$k\geqslant - \frac{7}{4}$
D.$k\gt\frac{7}{4}$ 且 $k\neq0$

答案： B

4. 当 $a$,$c$ 异号时,一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的根的情况是(B)。
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定

答案： B

5. 已知一元二次方程有一个根是 $2$,那么这个方程可以是$x(x-2)=0$(填上你认为正确的一个方程即可)。

答案： 答案合理即可

6. 若方程 $x^{2}+2x + m = 0$ 有两个相等的实数根,则 $m=$1。

答案： 1

7. 若关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-4x+(m - 1)= 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是$m＜3$。

答案： $m＜3$

8. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $2x(ax - 4)-x^{2}+6 = 0$ 没有实数根,那么 $a$ 的最小整数值2。

答案： 2