《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 计算$\sqrt{2}\sin 45^{\circ}$ = 1.

答案： 1

2. 已知$\sin A= \frac{1}{2}$,且$\angle A$为锐角,则$\angle A$ = 30°.

答案： 30°

3. $\alpha$为锐角,$\tan \alpha=\sqrt{3}$,则$\cos \alpha$ = $\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

4. 坡角为$30^{\circ}的斜坡上两树间的水平距离AC为2m$,则两树间的坡面距离$AB$为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$m.

答案： $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

5. 满足等式$\sqrt{2}\cos(\alpha + 30^{\circ}) = 1的锐角\alpha$为15°.

答案： 15°

6. 计算：
(1)$\sin 30^{\circ}-2\cos 45^{\circ}$；
(2)$\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}-\tan 45^{\circ}$；
(3)$2\cos 60^{\circ}+4\sin 60^{\circ}\cdot\tan 30^{\circ}-6\cos^{2}45^{\circ}$.

答案：
(1)$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$
(2)0
(3)-3

1. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 2\angle A$,则$\cos A$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 已知$\alpha,\beta$均为锐角,且满足$\vert\cos\alpha-\frac{1}{2}\vert+\sqrt{\tan\beta-\sqrt{3}} = 0$,则$\alpha+\beta$的度数为120°.

答案： 120°

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,$AC = 2\sqrt{3}$,则$AB$的长为$3+\sqrt{3}$.

答案： $3+\sqrt{3}$

4. 图①是一个车站入口的双翼闸机,它的双翼展开时,双翼边缘的端点$A与B之间的距离为8cm$(如图②),双翼的边缘$AC = BD = 72cm$,且与闸机侧立面夹角$\angle PCA= \angle BDQ = 30^{\circ}$。当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为80 cm.

答案： 80 cm

5. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,$D是AC$上一点,$DE\perp AB于E$,且$CD = 2$,$DE = 1$,则$BC$ = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

6. 若锐角$\alpha满足\cos\alpha\lt\frac{\sqrt{2}}{2}且\tan\alpha\lt\sqrt{3}$,则$\alpha$的范围是(B).
A.$30^{\circ}\lt\alpha\lt45^{\circ}$
B.$45^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ}$
C.$60^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$
D.$30^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ}$

答案： B

7. 等腰三角形的顶角为$120^{\circ}$,腰长为$2cm$,则它的底边长为(D)$cm$.
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C.$2$
D.$2\sqrt{3}$

答案： D

8. 数学课堂中,小张同学发现一副三角尺中,含$45^{\circ}角的三角尺的斜边与含30^{\circ}$角的三角尺的长直角边相等。于是,小陆同学提出一个问题：如图,将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起,点$B,C,E$在同一条直线上,若$BC = 2$,求$AF$的长。请你运用所学的数学知识解决这个问题.

答案： 解:在Rt△ABC中,
∵BC=2,∠A=30°,
∴AC=$\frac{BC}{\tan A}=2\sqrt{3}$,
∴EF=AC=$2\sqrt{3}$.
∵∠E=45°,
∴FC=EF·sinE=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}$,
∴AF=AC-FC=$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$