《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

3. 某同学的父母开了一个小服装店,出售一种进价为40元的服装,现每件60元卖出,每星期可卖出300件.该同学对父母的服装店很感兴趣,因此,他对市场作了如下的调查：如调整价格,每降价1元,每星期就能多卖出20件.请问同学们,该如何定价,才能使一星期获得的利润最大?

答案： 解:设每件降价x元,每星期多卖20x件,实际卖出(300+20x)件,销售额为(60-x)(300+20x)元,买进商品时需付40(300+20x)元,因此,所得利润y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),即y=-20x²+100x+6000,其中0≤x≤20,且x为整数.由y=-20x²+100x+6000得y=-20(x-5/2)²+6125,
∴x=2或3时y的最大值为6120.
∴定价为58元或57元时,才能使一星期获得的利润最大.

4. 我区某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品,投放市场进行试销后发现每天的销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,当售价为22元/件时,每天的销售量为780件；当售价为25元/件时,每天的销售量为750件.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件30元,那么售价定为每件多少元时,工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(利润= 售价-成本)

答案：
(1)y=-10x+1000.
(2)设每天获得的利润为w元,则w=y(x-20)=(-10x+1000)(x-20)=-10(x-60)²+16000.
∵-10＜0,
∴当20＜x≤30时,w随x的增大而增大,
∴当售价定为30元/件时,该工艺品每天获得的利润最大,w最大=-10×(30-60)²+16000=7000(元).故当售价定为30元/件时,销售该工艺品每天获得的利润最大,最大利润为7000元.

一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍($ 0 ＜ x \leq 11 $).
(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为(10+7x)元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为(12+6x)元；

答案： (10+7x);(12+6x)

(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为W万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元?
注：年销售利润= (每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.

答案：
(2)解:y=(12+6x)-(10+7x),即y=2-x.
(3)
∵W=2(1+x)(2-x)=-2x²+2x+4,
∴W=-2(x-0.5)²+4.5.
∵-2＜0,0＜x≤11,
∴W有最大值,
∴当x=0.5时,W最大=4.5万元.故当x为0.5时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是4.5万元.