《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 下列命题是真命题的有(B)个.
①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形.
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

2. 正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是(A).
A.8
B.$4\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{2}$
D.16

答案： A

3. 已知四边形$ABCD$是菱形,则只需补充条件：∠ABC=90°(用字母表示),就可以判定四边形$ABCD$是正方形.

答案： 答案不唯一,如:∠ABC=90°

4. 如图,在正方形$ABCD的外侧作等边三角形ADE$,连接$AC$,$BE交于点F$,则$\angle BFC= $60°.
]

答案： 60°

5. 如图,$D是\triangle ABC的边BC$上的中点,$DE\perp AC$,$DF\perp AB$,垂足分别是$E$,$F$,且$BF= CE$.
(1)求证：$\triangle ABC$是等腰三角形；
(2)当$\angle A = 90^{\circ}$时,试判断四边形$AFDE$是怎样的四边形,证明你的结论.
]

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°,
又{BD=CD,
BF=CE,
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),
∴∠B=∠C.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:四边形AFDE是正方形.证明如下:
∵∠A=90°,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴四边形AFDE是矩形.
又
∵Rt△BDF≌Rt△CDE,
∴DF=DE,
∴四边形AFDE是正方形.

1. 四边形$ABCD的对角线交于点O$,能判定它是正方形的条件是(C).
A.$AB = BC = CD = DA$
B.$AO = CO$,$BO = DO$,$AC\perp BD$
C.$AC = BD$,$AC\perp BD且AC$、$BD$互相平分
D.$AB = BC$,$CD = DA$

答案： C

2. 如图,已知在正方形$ABCD$中,$AB = 10$厘米,点$E在边AB$上,且$AE = 4$厘米,如果点$P在线段BC上以2$厘米/秒的速度由$B点向C$点运动,同时,点$Q在线段CD上由C点向D$点运动,设运动时间为$t$秒,当$\triangle BPE与\triangle CQP$全等时,$t$的值为(D).

A.2
B.2或1.5
C.2.5
D.2.5或2
]

答案： D

3. 如图,已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD平分\angle ACB$,交$AB于D$,$DF// BC$,$DE// AC$.
求证：四边形$DECF$为正方形.
]

答案： 证明:
∵DF//BC,DE//AC,
∴四边形DECF为平行四边形,
∵∠ACB=90°,
∴平行四边形DECF是矩形,
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCF=45°,
∴△CDF是等腰直角三角形,DF=CF,
∴矩形DECF是正方形.