《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AB$ 的中点,点 $F$ 在 $AD$ 上,且 $\frac{AF}{FD}= \frac{1}{2}$,$EF$ 交 $AC$ 于点 $G$,求 $\frac{AG}{GC}$ 的值.

答案： 解:设AC的中点为O,连接EO,又E是AB的中点,
∴EO//BC,EO= $\frac{1}{2}BC$.
∵AD//BC,
∴AF//EO,
∴△AFG∽△OEG,
∴$\frac{AG}{OG}=\frac{AF}{OE}$,
∵AF:FD=1:2,AD=BC,
∴AF:BC=1:3,
∴$\frac{AG}{OG}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{1}{4}$.

2. 如图,已知 $\triangle ABC$ 中,$AB = 2\sqrt{5}$,$AC = 4\sqrt{5}$,$BC = 6$,点 $M$ 为 $AB$ 的中点,在线段 $AC$ 上取点 $N$,使 $\triangle AMN$ 与 $\triangle ABC$ 相似,求 $MN$ 的长.

答案：
解:①如图1,作MN//BC交AC于点N,则△AMN∽△ABC,有$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$,
∵M为AB中点,AB= $2\sqrt{5}$,
∴AM= $\sqrt{5}$,
∵BC=6,
∴MN=3;
　
②如图2,作∠ANM=∠B,则△ANM∽△ABC,有$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$,
∵M为AB中点,AB= $2\sqrt{5}$,
∴AM= $\sqrt{5}$,
∵BC=6,AC= $4\sqrt{5}$,
∴MN= $\frac{3}{2}$.
∴MN的长为3或$\frac{3}{2}$.
　

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BD\perp AC$,垂足为点 $D$,$\angle BAC = 2\angle DBC$ 成立吗？试说明理由.

答案： 解:∠BAC=2∠DBC成立.理由:过点A作AM⊥BC于点M.
∵AB=AC,
∴∠BAC=2∠MAC,AM⊥BC,
∴∠C+∠MAC=90°,
∵BD⊥AC,
∴∠C+∠DBC=90°,
∴∠MAC=∠DBC,
∴∠BAC=2∠DBC.

4. 如图,已知 $CD$ 是 $Rt\triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的高,$E$ 是 $CD$ 的中点,$AE$ 的延长线交 $BC$ 于 $F$,$FG\perp AB$ 垂足为 $G$. 求证：$FG^{2}= FC\cdot FB$.

答案：
解:延长GF与AC的延长线交于H,则$\frac{AF}{AE}=\frac{FG}{ED}$,
∵$\frac{FG}{ED}=\frac{FH}{EC}$,又ED=EC,
∴FG=FH.
　
又易证Rt△CFH∽Rt△GFB,
∴$\frac{CF}{FG}=\frac{FH}{BF}$,
∴FG·FH=FC·FB.
∵FG=FH,
∴$FG^{2}=FC·FB$.