《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 已知实数 $a,b,c$ 满足：$\sqrt{a - 2}+(b + 1)^{2}+\vert c + 3\vert = 0$,求方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的根。

答案： 解:由题意,得$a=2$,$b=-1$,$c=-3$.
代入$ax^{2}+bx+c=0$得$2x^{2}-x-3=0$,
解得$x_{1}=\frac{3}{2}$,$x_{2}=-1$.

1. 若关于 $x$ 的方程 $3x^{2}-px + q = 0$ 通过配方得 $(x - 1)^{2}= \frac{4}{3}$,求：$q - p$ 的值。

答案： 解:$3x^{2}-px+q=0$,
$x^{2}-\frac{1}{3}px=-\frac{1}{3}q$,
$x^{2}-\frac{1}{3}px+\frac{p^{2}}{36}=-\frac{1}{3}q+\frac{p^{2}}{36}$,
$(x-\frac{p}{6})^{2}=\frac{p^{2}-12q}{36}$,
$\therefore \frac{p}{6}=1$,$\frac{p^{2}-12q}{36}=\frac{4}{3}$,
$\therefore p=6$,$q=-1$,
所以$q-p=-1 - 6=-7$

2. 某次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)。计划安排 $28$ 场比赛,应邀请多少支球队参加比赛？

答案： 解:设应邀请$x$支球队参赛,则每队共打$(x - 1)$场比赛,由题意得$\frac{1}{2}x(x - 1)=28$,
整理得$x^{2}-x - 56=0$,解得$x_{1}=8$,$x_{2}=-7$,
符合题意的解为$x=8$,
故应邀请8支球队参赛.

3. “$a^{2}\geq0$”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式。例如：$x^{2}+4x + 5 = x^{2}+4x + 4 + 1= (x + 2)^{2}+1$。
$\because(x + 2)^{2}\geq0$,$(x + 2)^{2}+1\geq1$,$\therefore x^{2}+4x + 5\geq1$。
试利用配方法解决下列问题：
(1)填空：因为 $x^{2}-4x + 6= (x$-2$)^{2}+$2,所以当 $x=$2时,代数式 $x^{2}-4x + 6$ 有最小(填“大”或“小”)值,这个最值为2。
(2)比较代数式 $x^{2}-1$ 与 $2x - 3$ 的大小。
$x^{2}-1-(2x - 3)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1＞0$,
则$x^{2}-1＞2x - 3$。

答案：
(1)-2;2;2;小;2
(2)$x^{2}-1-(2x - 3)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1＞0$,
则$x^{2}-1＞2x - 3$.