《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

5. 如图,在△ABC中,AB= AC,点D在边BC上,连接AD,以AD为一边作△ADE,满足AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连接EC.
(1)求证：CA平分∠DCE；
(2)如果$AB^2= BD·BC,$求证：四边形ABDE是平行四边形.

答案： 证明：
(1)
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB，
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB = AC \\ ∠BAD = ∠CAE \\ AD = AE \end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B = ∠ACE，
∴∠ACB = ∠ACE，
∴CA平分∠DCE；
(2)
∵AB² = BD·BC，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又∠B = ∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD = ∠BCA，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴∠CAE = ∠BCA，
∴AE//BD，
∵AB = AC，AD = AE，∠DAE = ∠BAC，
∴∠ACB = ∠ADE，
∴∠BAD = ∠ADE，
∴AB//DE，
∵AE//BD，AB//DE，
∴四边形ABDE是平行四边形。

6. 如图,△ABC∽△DBE,点E在AC上,∠ABC= ∠DBE= 90°,连接AD,求证：AD⊥AC.

答案： 证明：
∵∠ABC = ∠DBE = 90°，
∴∠DBA = ∠EBC，
∵△ABC∽△DBE，
∴$\frac{DB}{AB}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{DB}{BE}=\frac{AB}{BC}$，又∠DBA = ∠EBC，
∴△DBA∽△EBC，
∴∠DAB = ∠C，
∴∠DAC = 90°，即AD⊥AC。