《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 三角形的两边长分别为 8 和 12,第三边长是方程 $ x^{2}-8x+15= 0 $ 的解,则第三条边的长为(C).
A.3
B.4
C.5
D.无法确定

答案： C

2. 等腰三角形一条边长为 2,它的另外两条边长是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-10x+k= 0 $ 的两根,则 $ k $ 的值是(A).
A.25
B.26
C.27
D.28

答案： A

3. 如图,甲、乙两船同时从 $ A $ 点出发,甲船以 6 海里/小时的速度向东北方向航行,乙船以每小时比甲船快 2 海里的速度向东南方向航行,几小时后甲、乙两船相距 40 海里？

答案： 解:设x小时后甲、乙两船相距40海里，由东南东北方向夹角为90°,可得
$(6x)^{2}+[(6+2)x]^{2}=40^{2},$
解得$x_{1}=4,x_{2}=-4$(舍去).
答:4小时后甲、乙两船相距40海里.

4. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长 $ a,b,c $ 中,$ a= b-2,c= b+2 $,且关于 $ x $ 的方程 $ 3x^{2}-25x+b+16= 0 $ 的根恰为 $ b $ 的值,求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 解:将$x=b$代入$3x^{2}-25x+b+16=0$中,得$3b^{2}-25b+b+16=0$,
即$3b^{2}-24b+16=0$,
解得:$b_{1}=\frac {4\sqrt {6}}{3}+4,b_{2}=4-\frac {4\sqrt {6}}{3}$,
当$b=\frac {4\sqrt {6}}{3}+4$时,
$a=b-2=\frac {4\sqrt {6}}{3}+2,$
$c=b+2=\frac {4\sqrt {6}}{3}+6,$
$\because (\frac {4\sqrt {6}}{3}+2)^{2}+(\frac {4\sqrt {6}}{3}+4)^{2}=(\frac {4\sqrt {6}}{3}+6)^{2}$
即$a^{2}+b^{2}+c^{2},$
$\therefore △ABC$为直角三角形,且C为斜边长,
$\therefore S_{△ABC}=\frac {1}{2}a\cdot b=\frac {1}{2}(\frac {4\sqrt {6}}{3}+2)\cdot (\frac {4\sqrt {6}}{3}+4)=\frac {84}{9}+4\sqrt {6}=\frac {28}{3}+4\sqrt {6}$
当$b=4-\frac {4\sqrt {6}}{3}$时,
$a=b-2=2-\frac {4\sqrt {6}}{3}＜0$不符合题意,
因此,$△ABC$面积为$\frac {28}{3}+4\sqrt {6}.$

5. 如图,有一矩形的地,该地长为 $ x $ m、宽为 60 m,建筑商将它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙为正方形,现计划甲建设住宅区,乙建设商场,丙开辟成公司,若已知丙地面积为 800 平方米,求 $ x $ 的值.

答案： 解:由题意得,$(x-60)[60-(x-60)]=800$
整理得$x^{2}-180x+8000=0,$
解得$x_{1}=80,x_{2}=100.$
答:x的值为80或100.

6. 如图,在宽为 20 m、长为 30 m 的矩形地面上修同样宽的道路,余下部分种植草坪,要使草坪的面积为 200 平方米,则道路宽为多少米？

答案： 解:设道路宽为x m,由题意得
$(20-x)(30-x)=200,$
整理得$x^{2}-50x+400=0,$
解得$x_{1}=10,x_{2}=40$(舍去).
答:道路宽为10 m.

7. 某种商品标价 400 元/件,经过两次降价后的价格为 324 元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品进价为 300 元/件,两次降价共售出此商品 100 件,为使两次降价销售的总利润不少于 3210 元,问第一次降价后至少要售出该商品多少件？

答案： 解:
(1)设该商品每次降价的百分率为x,由题意得$400(1-x)^{2}=324,$
解得$x=0.1$或$x=1.9$(舍去).
答:该商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该商品m件，则第二次降价后售出该商品(100 - m)件，第一次降价后每件利润为$400(1 - 10\%) - 300 = 60$(元)，第二次降价后每件利润为$324 - 300 = 24$(元),
由题意得,$60m + 24(100 - m)=36m + 2400\geq3210,$
解得$m\geq22.5.$
答:为使两次降价销售的总利润不少于3210元,第一次降价后至少要售出该商品23件.