《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

5. 已知：四边形 $ABCD$ 是菱形,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,$AB = 5$,$AO = 4$。求 $BD$ 的长。

答案： 解:
∵四边形ABCD是菱形, 对角线AC与BD相交于O,
∴AC⊥BD,DO=BO,
∵AB=5,AO=4,
∴BO=√(5²-4²)=3,
∴BD=2BO=2×3=6.

6. 图 $1$、图 $2$ 分别是 $6×5$ 的网格,网格中每个小正方形的边长均为 $1$,线段 $AB$ 的端点在小正方形的顶点上,请在图 $1$、图 $2$ 中各画一个图形,分别满足以下要求：
(1)在图 $1$ 中画一个以线段 $AB$ 为一边的菱形(非正方形),所画菱形各顶点必须在小正方形的顶点上；
(2)在图 $2$ 中画一个以线段 $AB$ 为一边的等腰三角形,所画等腰三角形各顶点必须在小正方形的顶点上,且所画等腰三角形的面积为 $\frac{5}{2}$。

答案： 答案不唯一,符合要求即可.

7. 如图,四边形 $ABCD$ 是菱形,$CE \perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$,$CF \perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$,请你猜想 $CE$ 与 $CF$ 有什么数量关系？并证明你的猜想。

答案： 解:CE=CF.
证明如下:
∵CE⊥AE,CF⊥AF,
∴∠CEB=∠CFD=90°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD//BC,AB//CD且BC=DC,
∴∠DAB=∠CBE,∠DAB=∠FDC,
∴∠CBE=∠FDC.
又BC=DC,
∴Rt△BEC≌Rt△DFC(AAS),
∴CE=CF.

如图,菱形 $ABCD$ 中,$AB = 8\ cm$,$\angle ADC = 60°$,点 $E$ 从点 $D$ 出发,以 $1\ cm/s$ 的速度沿射线 $DA$ 运动,同时点 $F$ 从点 $A$ 出发,以 $1\ cm/s$ 的速度沿射线 $AB$ 运动,连接 $CE$,$CF$ 和 $EF$,设运动时间为 $t$ 秒。
(1)当 $t = 4\ s$ 时,如图①所示,则 $EF = $4√3；
(2)当 $E,F$ 分别在线段 $AD$ 和 $AB$ 上时,如图②所示,求证：$\triangle EFC$ 是等边三角形。
]

证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC=AB=BC,∠ADC=∠ABC=60°,
连接AC如图②所示:则△ADC和△ABC是等边三角形,
∴∠D=∠ACD=∠CAF=60°,DC=AC.
∵点E从点D出发,以1 cm/s的速度沿射线DA运动,同时点F从点A出发,以1 cm/s的速度沿射线AB运动,
∴DE=AF,
易得△ABE≌△CDF
∴CE=CF,∠DCE=∠ACF,
∵∠ACD=∠DCE+∠ACE=60°
∴∠DCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=∠ECF=60°
∴△EFC是等边三角形.

答案：
(1)4√3；
(2)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC=AB=BC,∠ADC=∠ABC=60°,
连接AC如图②所示:则△ADC和△ABC是等边三角形,
∴∠D=∠ACD=∠CAF=60°,DC=AC.
∵点E从点D出发,以1 cm/s的速度沿射线DA运动,同时点F从点A出发,以1 cm/s的速度沿射线AB运动,
∴DE=AF,
易得△ABE≌△CDF
∴CE=CF,∠DCE=∠ACF,
∵∠ACD=∠DCE+∠ACE=60°
∴∠DCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=∠ECF=60°
∴△EFC是等边三角形.