《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

3. 已知四边形 $ABCD$ 中,$AC\perp DB$ 于点 $O$,$E$,$F$,$G$,$H$ 分别是四边的中点。
求证：四边形 $EFGH$ 是矩形。

答案： 证明:
∵E,H为AD,CD的中点，
∴EH//AC且EH=$\frac{1}{2}$AC,
∵F、G为AB、BC的中点，
∴FG//AC,FG=$\frac{1}{2}$AC,
∴EH≌FG
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AC⊥BD,
∴∠COD=90°.设EH与BD的交点为M,
∵EH//AC,
∴∠DMH=∠DOC=90°.
∵H,G分别为CD,BC的中点，
∴HG//BD,
∴∠GHE=∠DMH=90°,
∴平行四边形EFGH为矩形.

4. 已知：如图,在 $□ ABCD$ 中,$AE\perp BC$,$CF\perp AD$,$E$,$F$ 分别为垂足。
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；
(2)求证：四边形 $AECF$ 是矩形。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D,AB=CD,AD//BC,
∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°在△ABE和△CDF中,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)证明:
∵AD//BC,
∴∠EAF=∠AEB=90°
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是矩形.

5. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别为边 $AB$,$CD$ 的中点,$BD$ 是对角线,$AG// DB$ 交 $CB$ 的延长线于 $G$。
(1)求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$；
(2)若四边形 $BEDF$ 是菱形,则四边形 $AGBD$ 是什么特殊四边形？并证明你的结论。

答案：
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,∠A=∠C,AB=CD,又因为E、F分别为边AB、CD的中点，所以AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BG,又知AG//DB,所以四边形AGBD是平行四边形，因为四边形BEDF是菱形,所以DE=BE=AE,所以∠DAE=∠ADE,∠EDB=∠DBE,所以2∠ADE+2∠EDB=180°,所以∠ADE+∠EDB=90°.所以四边形AGBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).

1. 如图所示 $\triangle ABC$ 中,点 $O$ 是 $AC$ 边上的一个动点,过点 $O$ 作直线 $MN// BC$,设 $MN$ 交 $\angle BCA$ 的平分线于点 $E$,交 $\angle BCA$ 的外角平分线于点 $F$。
(1)求证：$EO = FO$；

(2)点 $O$ 运动到何处时,四边形 $AECF$ 是矩形？并证明你的结论。

答案：
(1)证明:
∵CE、CF分别是∠BCA和∠BCA的外角平分线，
∴∠1=∠2,∠3=∠4,又
∵MN//BC,
∴∠1=∠5,∠6=∠4,
∴∠2=∠5,∠3=∠6,
∴OE=OC,OF=OC,
∴OE=OF.
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.证明:由
(1)知,无论点O怎样运动，∠ECF=90°,OE=OF.当点O运动到AC的中点，即OA=OC时，四边形AECF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).又
∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF为矩形(有一个角为90°的平行四边形为矩形).