《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$\angle AOB = 60^{\circ}$。


(1)如图 $1$,求证：$\triangle AOB$ 为等边三角形；
(2)如图 $2$,若 $AE$ 平分 $\angle BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$,连接 $OE$,请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形。
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答案：
(1)证明:
∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OB,
　又
∵∠AOB=60°,
∴△AOB为等边三角形；
(2)解:
∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD交BC于点E,
∴OA=OD=OB=AB=OC,∠BAE=45°,
∴AB=BE,
∴BE=OB,
　所以△ABE是等腰三角形，△OAD,△OBC,△BEO是等腰三角形.

2. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是边 $AB$,$CD$ 上的点,$AE = CF$,连接 $EF$,$BF$,$EF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $O$,且 $BE = BF$,$\angle BEF = 2\angle BAC$。
(1)求证：$OE = OF$；
(2)若 $BC = 2\sqrt{3}$,求 $AB$ 的长。
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答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
∵AE=CF,
∴△AEO≌△CFO(ASA).
∴OE=OF.
(2)解:连接BO.
　　　　　
∵OE=OF,BE=BF,
∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.
∴∠BOF=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF=90°.又∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,
∴∠BAC=∠EOA,
∴AE=OE,
∴OF=CF.
又BF=BF,
∴Rt△BOF≌Rt△BCF(HL).
∴∠OBF=∠CBF,
∴∠CBF=∠FBO=∠OBE,
∵∠ABC=90°,
∴∠OBE=30°.
∴∠BEO=60°,
∴∠BAC=30°.
又BC=2√3,
∴AB=6.