《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

5. 如果两个位似图形的对应线段长分别为 $3cm$ 和 $5cm$,且较小图形的周长为 $36cm$,则较大图形的周长为60cm。

答案： 60cm

6. 在平面直角坐标系中,已知 $A(6,3)$,$B(6,0)$ 两点,以坐标原点 $O$ 为位似中心,位似比为 $\frac{1}{3}$,把线段 $AB$ 缩小后得到线段 $A'B'$,则 $A'B'$ 的长度等于1。

答案： 1

7. 如图,$\triangle DEF$ 是 $\triangle ABC$ 经过位似变换得到的,位似中心是点 $O$,请确定点 $O$ 的位置,如果 $OC = 3.6cm$,$OF = 2.4cm$,求它们的相似比。

答案： 解:如图,连接AD,CF交于点O,则点O即为所求;
∵OC=3.6cm,OF=2.4cm,
∴OC:OF=3:2,
∴△ABC与△DEF的相似比为3:2.

如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$。过点 $O$ 作 $OE\perp BC$ 于点 $E$,连接 $DE$ 交 $OC$ 于点 $F$,过点 $F$ 作 $FG\perp BC$ 于点 $G$,则 $\triangle ABC$ 与 $\triangle FGC$ 是位似图形吗？若是,请说出位似中心,并求出相似比；若不是,请说明理由。
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答案： 解:△ABC与△FGC是位似图形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB⊥BC,FG⊥BC,
∴∠ABC=90°,∠FGC=90°,
∴AB//FG,
∴∠BAC=∠GFC,
∴△ABC∽△FGC,又AF、BG的连线相交于点C,
∴△ABC与△FGC是位似图形,位似中心是点C.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,OB=OD,又OE⊥BC,
∴OE//CD,△BOE∽△BDC,且△FOE∽△FCDO是BD中点,
∴$\frac{BO}{BD}=\frac{OE}{DC}=\frac{1}{2}$,
∴OE=$\frac{1}{2}$CD,
∵△FOE∽△FCD,
∴$\frac{OF}{FC}=\frac{OE}{CD}=\frac{1}{2}$,则$\frac{CF}{CO}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,
∴△ABC与△FGC的相似比是3:1.