《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 已知等腰三角形的面积 $ S $ 与底边 $ x $ 有如下关系：$ S = -5x^{2} + 10x + 14 $,要使 $ S $ 有最大值,则 $ x = $1.

答案： 1

2. 周长为 $ 50 \, cm $ 的矩形,设其一边长为 $ x \, cm $,则当 $ x = $$\frac{25}{2}$时,矩形面积最大,最大为$\frac{625}{4}\ cm^2$.

答案： $\frac{25}{2}$; $\frac{625}{4}\ cm^2$

3. 一个菱形的对角线之和为 $ 10 \, cm $,其最大面积为$\frac{25}{2}\ cm^2$.

答案： $\frac{25}{2}\ cm^2$

4. 一块由篱笆围成的矩形绿地长 $ x \, m $,并且中间有一条与长边平行的篱笆,篱笆的总长为 $ 600 \, m $,求矩形绿地的最大面积.

答案： 解:设矩形绿地长$x\ m$,长方形的面积为$y\ m^2$,由题意得,$y=x\cdot \frac{600-3x}{2}=-\frac{3}{2}x^2+300x=-\frac{3}{2}(x-100)^2+15000$$\because -\frac{3}{2}＜0$,$\therefore$ 函数图象开口向下,则$x=100$时,$y$取最大值$15000$.答:矩形绿地的最大面积为$15000\ m^2$.

1. 用长为 $ 8 \, m $ 的铝合金制成形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为4$ m^2 $.

答案： 4

2. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ BC $ 边上的点,$ F $ 是 $ CD $ 边上的点,且 $ AE = AF $,$ AB = 4 $,设 $ \triangle AEF $ 的面积为 $ y $,$ EC $ 的长为 $ x $,则 $ \triangle AEF $ 的面积最大为8.

答案： 8

3. 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 1 \, cm $,$ M $,$ N $ 分别是 $ BC $,$ CD $ 上两个动点,且始终保持 $ AM \perp MN $,当 $ BM = $____$\frac{1}{2}$$ cm $ 时,四边形 $ ABCN $ 的面积最大,最大面积为____$\frac{5}{8}$$ cm^2 $.

答案： $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{8}$

4. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 $ 2 \, m $ 时,水面宽 $ 4 \, m $. 当水面下降 $ 2 \, m $ 时,水面的宽度为$4\sqrt{2}$$ m $.

答案： $4\sqrt{2}$

5. 已知 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 2400 \, cm^2 $,底边 $ BC $ 长为 $ 80 \, cm $. 若点 $ D $ 在 $ BC $ 边上,$ E $ 在 $ AC $ 边上,$ F $ 在 $ AB $ 边上,且四边形 $ BDEF $ 为平行四边形,设 $ BD = x \, cm $,$ S_{□ BDEF} = y \, cm^2 $,求：
$ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
自变量 $ x $ 的取值范围；
当 $ x $ 为何值时,$ y $ 有最值,最值是多少？

答案：
解:
(1)设$\triangle DCE$的高为$h\ cm$,如图所示，$\triangle ABC$的高为$b\ cm$,则$y=S_{平行四边形BDEF}=x\cdot h$.$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot b$,$\therefore 2400=\frac{1}{2}×80b$,$\therefore b=60(cm)$.$\because ED// AB$,$\therefore \triangle EDC\backsim\triangle ABC$.$\therefore \frac{h}{b}=\frac{DC}{BC}$,即$\frac{h}{60}=\frac{80-x}{80}$,$\therefore h=\frac{3(80-x)}{4}$,$\therefore y=\frac{3(80-x)}{4}\cdot x=-\frac{3}{4}x^2+60x$;
(2)自变量$x$的取值范围是$0＜x＜80$.
(3)$\because a=-\frac{3}{4}＜0$,$\therefore y$有最大值;当$x=40$时,$y_{最大值}=1200(cm^2)$.