《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为(A).
A.12.36 cm
B.13.6 cm
C.32.36 cm
D.7.64 cm

答案： A

2. 已知点P是线段AB的黄金分割点,且AP＞BP,则下列等式成立的是(B).
A.$ AB^{2}= AP\cdot PB $
B.$ AP^{2}= AB\cdot PB $
C.$ BP^{2}= AB\cdot AP $
D.$ AP\cdot PB= AP\cdot PA $

答案： B

3. (1)如图,若点C是线段AB的黄金分割点,AB= 1,则AC= $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,BC= $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

(2)一条线段的黄金分割点有2个.

答案： 1. 首先求$AC$和$BC$的值：
因为点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC\gt BC$。
根据黄金分割的定义，较长线段与整条线段的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AB = 1$，则$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。
把$AB = 1$代入可得$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
那么$BC=AB - AC$，即$BC = 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2 - (\sqrt{5}-1)}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
2. 然后求黄金分割点的个数：
一条线段的黄金分割点有$2$个。
故答案依次为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$；$2$。

4. 已知点P是线段MN的黄金分割点,PM是被分线段中较长部分,$ PM= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $,则线段PN= $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

答案： $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

5. 对于足球运动,0.618这个极具魔力的数字也有非常重大的意义,足球运动员在18~32岁为从业的最佳运动期,应用黄金分割求出足球运动员的最佳年龄应该在23.3 或 26.7.(精确到0.1岁)

答案： 23.3 或 26.7

6. 已知M是线段AB的黄金分割点,且AM＞BM.
(1)写出AB,AM,BM之间的比例式；
(2)如果AB= 12,求AM与BM的长.

答案： $(1)$求$AB$，$AM$，$BM$之间的比例式
根据黄金分割点的定义：若点$M$把线段$AB$分成两条线段$AM$和$BM(AM\gt BM)$，如果$\frac{AM}{AB}=\frac{BM}{AM}$，那么称线段$AB$被点$M$黄金分割，点$M$叫做线段$AB$的黄金分割点，$AM$与$AB$的比叫做黄金比。
所以$AB$，$AM$，$BM$之间的比例式为$\boldsymbol{\frac{AM}{AB}=\frac{BM}{AM}}$。
$(2)$求$AM$与$BM$的长
- **步骤一：求$AM$的长
已知$M$是线段$AB$的黄金分割点，且$AM\gt BM$，根据黄金分割的比例关系$AM = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。
已知$AB = 12$，将$AB$的值代入上式可得：
$AM=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×12 = 6(\sqrt{5}-1)=6\sqrt{5}-6$。
步骤二：求$BM$的长
因为$BM=AB - AM$，把$AB = 12$，$AM = 6\sqrt{5}-6$代入可得：
$BM=12-(6\sqrt{5}-6)=12 - 6\sqrt{5}+6=18 - 6\sqrt{5}$。
综上，$(1)$比例式为$\boldsymbol{\frac{AM}{AB}=\frac{BM}{AM}}$；$(2)$$\boldsymbol{AM = 6\sqrt{5}-6}$，$\boldsymbol{BM = 18 - 6\sqrt{5}}$。

7. 已知线段MN= 2,在MN上有一点A.若$ AN= 3-\sqrt{5} $,则A是MN的黄金分割点吗？为什么？

答案： 解:是.因为$AM=\sqrt{5}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}MN$.

1. 已知P是线段AB的黄金分割点,且AP＞PB,AB= 10,则AP的长约为(B).
A 0.618
B. 6.18
C. 3.82
D. 0.382

答案： B

2. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P,Q,则PQ= (C).
A.$ \frac{\sqrt{5}-1}{2} $
B.$ 3-\sqrt{5} $
C.$ \sqrt{5}-2 $
D.$ \frac{3-\sqrt{5}}{2} $

答案： C

3. 已知线段AB及AB上一点P,当点P满足下列哪一种关系时,点P为AB的黄金分割点：
①$ AP^{2}= AB\cdot PB $；②$ AP= \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB $；③$ PB= \frac{3-\sqrt{5}}{2}AB $；④$ \frac{AP}{PB}= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $；⑤$ \frac{AB}{AP}= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.其中正确的是(A).
A.①②③
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②③④⑤

答案： A