《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

10. 有三张卡片(背面完全相同)分别写有5,$-2$,$\sqrt{5}$,把它们背面朝上洗匀后,小军从中抽取一张,记下这个数后放回洗匀,小明再从中抽出一张.
(1)小军抽取的卡片是$-2$的概率是$\frac{1}{3}$；两人抽取的卡片都是$\sqrt{5}$的概率是$\frac{1}{9}$.
(2)小亮为他们俩设计了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数,则小军获胜,否则小明获胜.你认为这个游戏规则对谁有利？请用列表法或画树状图法进行分析说明.
(2)解:
小军获胜的概率为$\frac{5}{9}$,小明获胜的概率为$\frac{4}{9}$,因为$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,所以此游戏规则对小军有利.

答案： 1. （1）
小军抽取卡片是$-2$的概率：
因为总共有$3$张卡片，所以小军抽取的卡片是$-2$的概率$P=\frac{1}{3}$。
两人抽取的卡片都是$\sqrt{5}$的概率：
小军抽取$\sqrt{5}$的概率是$\frac{1}{3}$，小明抽取$\sqrt{5}$的概率也是$\frac{1}{3}$，根据独立事件概率公式$P(A\cap B)=P(A)× P(B)$，所以两人抽取的卡片都是$\sqrt{5}$的概率$P = \frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。
2. （2）
列表法：
列表如下：
|小军$×$小明| $5$ | $-2$ | $\sqrt{5}$ |
|----|----|----|----|
| $5$ | $5×5 = 25$（有理数） | $5×(-2)=-10$（有理数） | $5×\sqrt{5}=5\sqrt{5}$（无理数） |
| $-2$ | $-2×5=-10$（有理数） | $(-2)×(-2) = 4$（有理数） | $-2×\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$（无理数） |
| $\sqrt{5}$ | $\sqrt{5}×5 = 5\sqrt{5}$（无理数） | $\sqrt{5}×(-2)=-2\sqrt{5}$（无理数） | $\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$（有理数） |
一共有$3×3 = 9$种等可能的结果，其中两数之积是有理数的有$5$种情况，两数之积是无理数的有$4$种情况。
所以小军获胜的概率$P_{小军}=\frac{5}{9}$，小明获胜的概率$P_{小明}=\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，所以这个游戏规则对小军有利。
综上，答案依次为：（1）$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{9}$；（2）这个游戏规则对小军有利。

1. 疫情期间进入学校都要通过测温通道,体温正常才可进入学校,银川某校有2个测温通道,分别记为A,B通道,学生可随机选取其中的一个通道测温进校园.某日早晨该校所有学生体温正常.小王和小李两同学该日早晨进校园时,选择同一通道测温进校园的概率是(C).
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$

答案： C

2. 甲袋中装有2张相同的卡片,颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片,颜色分别为红色、黄色、绿色.从这两个口袋中各随机抽取1张卡片,取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是(A).
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{6}$

答案： A

3. 中考体育男生抽测项目规则是从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽取一项；再从50米、$50×2$米、100米中随机抽取一项.某考生恰好抽中实心球和50米的概率是(D).
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{9}$

答案： D

4. 将分别标有数字1,2,3,4的四张卡片洗匀后,背面朝上,放在桌面上,随机抽取一张(不放回),接着再随机抽取一张,恰好两张卡片上的数字相邻的概率为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

5. 某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是$\frac{3}{5}$.

答案： $\frac{3}{5}$

小明参加学校组织的知识竞答活动,最后一关答对两道单选题就能顺利通关.已知第一道单选题有三个选项,第二道单选题有四个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有一个“求助”没有使用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明将“求助”留在第二题使用,请用树状图或表格来分析小明顺利通关的概率.
(2)从概率的角度分析,你建议小明在第几题使用“求助”？(直接写出答案即可)

答案：

$解:(1)设第一题的三个选项分别为a,b,c;$

$第二题剩余的三个选项分别A, B, C$

$列表如下：$

$一共有9种等可能的结果其中顺利通关只有1种，$

$故P(顺利通关)=\frac{1}{9} ;$

$(2)建议小明在第一题使用求助.$