《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,河坝横断面迎水坡 $ BC $ 的坡度 $ i = 1:\sqrt{3} $,坝高 $ AC $ 为 $ 6m $,则 $ BC $ 的长度为(A)。

A.$ 12m $
B.$ 4\sqrt{3}m $
C.$ 6m $
D.$ 10\sqrt{3}m $
]

答案： A

2. 如图,一个直角梯形的堤坝的坡长 $ CD $ 为 $ 6m $,斜坡 $ CD $ 的坡角为 $ 60^{\circ} $,为了改善堤坝的稳固性,准备将其坡角改为 $ 45^{\circ} $,则调整后的斜坡 $ DE $ 的长度为(A)。

A.$ 3\sqrt{6} $
B.$ 3\sqrt{3} $
C.$ (3\sqrt{3} - 2) $

D.$ (3\sqrt{3} - 3) $
]

答案： A

3. 一棵大树在一次强烈的地震中于 $ C $ 处折断倒下,树顶落在地面 $ B $ 处,测得 $ B $ 处与树的底端 $ A $ 相距 $ 25 $ 米,$ \angle ABC = 24^{\circ} $。
(1) 求大树折断倒下部分 $ BC $ 的长度；
(2) 大树在折断之前高多少米？(精确到 $ 1 $ 米,参考数据：$ \sin 24^{\circ} \approx 0.406 $,$ \cos 24^{\circ} \approx 0.9135 $,$ \tan 24^{\circ} \approx 0.4452 $)
]

答案： 3. 解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=24°，AB=25米.
(1)
∵cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC=$\frac{AB}{\cos∠ABC}$=$\frac{25}{\cos24°}$≈27(米)，即大树折断倒下部分BC的长度约为27米.
(2)
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC=AB·tan∠ABC=25·tan24°≈11.1（米），
∴BC+AC≈27+11.1≈38(米)，即大树折断之前高约为38米.

4. 如图,$ A $,$ B $ 两城市相距 $ 100km $。现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段 $ AB $),经测量,森林保护中心 $ P $ 在 $ A $ 城市的北偏东 $ 30^{\circ} $ 和 $ B $ 城市的北偏西 $ 45^{\circ} $ 的方向上。已知森林保护区的范围在以点 $ P $ 为圆心,$ 50km $ 为半径的圆形区域内。请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？($ \sqrt{3} \approx 1.732 $,$ \sqrt{2} \approx 1.414 $)
]

答案：
4. 解：过P作PC⊥AB于点C，设PC为x km.
∵PC//AE，
∴∠APC=∠EAP=30°.
∵PC//BF，
∴∠CPB=∠FBP=45°.在Rt△ACP中，tan∠APC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$.在Rt△BCP中，tan∠CPB=$\frac{BC}{PC}$=1，
∴BC=x.
∵AB=AC+BC=100，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}x+x=100$，解得x≈63＞50，
∴不会穿越保护区.

1. 一艘船向正北航行,航行至 $ A $ 处看到灯塔 $ S $ 在船的北偏东 $ 30^{\circ} $ 的方向上,航行 $ 12 $ 海里到达 $ B $ 处。在 $ B $ 处看到灯塔 $ S $ 在船的北偏东 $ 60^{\circ} $ 的方向上。此船继续沿正北方向航行,则在行驶过程中,距灯塔 $ S $ 的最近距离是$6\sqrt{3}$海里(不作近似计算)。
]

答案： $6\sqrt{3}$

2. 有一幢居民楼,在地面上 $ A $ 点测得其顶点 $ B $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $。向居民楼的方向前进 $ 30m $ 到 $ C $ 点,又测得 $ B $ 的仰角为 $ 60^{\circ} $,则居民楼的高度为70.9m。(结果精确到 $ 0.1m $,$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)

答案： 70.9