《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD \perp BC$,垂足是$D$,若$BC = 14$,$AD = 12$,$\tan \angle BAD = \frac{3}{4}$,求$\sin C$的值。

答案： 解:
∵在Rt△ABD中,$\tan\angle BAD=\frac{BD}{AD}$,
∴$BD=AD\cdot\tan\angle BAD=12×\frac{3}{4}=9$,
∴$CD=BC - BD=14 - 9=5$.
在Rt△ACD中,$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$,$\therefore\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$.

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$,$CD \perp AB于点D$,求$\angle BCD$的三角函数值。

答案： 解：在Rt△ABC中,$\because\angle ACB=90^{\circ}$,$\therefore\angle BCD+\angle ACD=90^{\circ}$.
$\because CD\perp AB$,$\therefore\angle ACD+\angle A=90^{\circ}$
$\therefore\angle BCD=\angle A$
在Rt△ABC中,由勾股定理得:$AB=10$
$\therefore\sin\angle BCD=\sin\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$
$\cos\angle BCD=\cos\angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$
$\therefore\tan\angle BCD=\tan\angle A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$

1. 在直角坐标系$xOy$中,点$A的坐标为(10,0)$,点$B$在第一象限内,$BO = 5$,$\sin \angle AOB = \frac{3}{5}$,求：
(1)点$B$的坐标；
(2)求$\cos \angle BAO$,$\tan \angle BAO$的值。

答案： 解:
(1)过B作$BC\perp OA$于C,
$\therefore\angle OCB=90^{\circ}$.
在Rt△OBC中:
$\sin\angle BOA=\frac{BC}{OB}=\frac{BC}{5}=\frac{3}{5}$,
$\therefore BC=3$,在Rt△OBC中:由勾股定理得，$OB^{2}=OC^{2}+BC^{2}$,故$OC=4$,$\therefore B(4,3)$.
(2)由
(1)知$OC=4$,$A(10,0)$,$\therefore OA=10$,$\therefore AC=6$.$\because BC\perp OA$,$\therefore\angle ACB=90^{\circ}$.
在Rt△ABC中:$\tan\angle BAO=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$.在Rt△ABC中由勾股定理得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,得$AB=3\sqrt{5}$.在Rt△ABC中:$\cos\angle BAO=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

2. 在直角坐标系中放入边长$OC$为9的矩形纸片$ABCO$。将纸片翻折后,点$B恰好落在x轴上的点B'$处,折痕为$CE$。已知$\tan \angle OB'C = \frac{3}{4}$。
(1)求点$B'$的坐标；
(2)求折痕$CE$所在直线的解析式。

答案： 解:
(1)在Rt△B'OC中,$\tan\angle OB'C=\frac{3}{4}$,$OC=9$,
$\therefore\frac{9}{OB'}=\frac{3}{4}$,解得$OB'=12$,即点B'的坐标为$(12,0)$.
(2)将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上的B'点,CE为折痕,$\therefore\triangle CBE\cong\triangle CB'E$,故$BE=B'E$,$CB'=CB=OA$,由勾股定理得$CB'=\sqrt{OB'^{2}+OC^{2}}=15$.
设$AE=a$,则$EB'=EB=9 - a$,$AB'=AO - OB'=15 - 12=3$,在Rt△AB'E中,由勾股定理得$a^{2}+3^{2}=(9 - a)^{2}$,解得$a=4$,
$\therefore$点E的坐标为$(15,4)$,点C的坐标为$(0,9)$.
设直线CE的解析式为$y=kx + b$,根据题意,得
$\begin{cases}9 = b\\4 = 15k + b\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 9\\k = -\frac{1}{3}\end{cases}$.
$\therefore$CE所在直线的解析式为$y=-\frac{1}{3}x + 9$.