《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是边 BC 的中点,AE⊥BD,垂足为 F,求 tan∠BDE 的值。

答案： 解：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD=BC$，$AD // BC$. $\because$ 点$E$是边$BC$的中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$. $\because AD // BC$，$\therefore \triangle BEF \sim \triangle DAF$，$\therefore \frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，$\therefore EF=\frac{1}{2}AF$，$\therefore EF=\frac{1}{3}AE$. $\because$ 点$E$是边$BC$的中点，$\therefore$ 由矩形的对称性得$AE=DE$，$\therefore EF=\frac{1}{3}DE$，设$EF=x$，则$DE=3x$，$\therefore DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=2\sqrt{2}x$，$\therefore \tan \angle BDE=\frac{EF}{DF}=\frac{x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

1. 平行四边形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,过点 O 的直线与 BA,DC 的延长线分别交于点 E,F。
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)连接 EC,AF,则 EF 与 AC 满足什么条件时,四边形 AECF 是矩形,并说明理由。

答案： 1. （1）
解（证明）：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以$OA = OC$。
又因为$AB// CD$（平行四边形对边平行），所以$\angle EAO=\angle FCO$（两直线平行，内错角相等）。
且$\angle AOE=\angle COF$（对顶角相等）。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle EAO=\angle FCO\\OA = OC\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
2. （2）
解：
当$EF = AC$时，四边形$AECF$是矩形。
理由：
由（1）知$\triangle AOE\cong\triangle COF$，所以$OE = OF$。
又因为$OA = OC$（平行四边形对角线互相平分），根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$AECF$是平行四边形。
当$EF = AC$时，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以四边形$AECF$是矩形。
综上，（1）可证$\triangle AOE\cong\triangle COF$；（2）当$EF = AC$时，四边形$AECF$是矩形。

2. 如图,在□ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,延长 BC 至点 F,使 CF= BE,连接 AF,DE,DF。
(1)求证：四边形 AEFD 是矩形；
(2)若 AB= 6,DE= 8,BF= 10,求 AE 的长。

答案：
(1)证明：$\because CF=BE$，$\therefore CF+EC=BE+EC$，即$EF=BC$，$\because$ 在$□ ABCD$中，$AD // BC$且$AD=BC$，$\therefore AD // EF$且$AD=EF$，$\therefore$ 四边形$AEFD$是平行四边形. $\because AE \perp BC$，$\therefore \angle AEF=90°$，$\therefore$ 四边形$AEFD$是矩形.
(2)解：$\because$ 四边形$AEFD$是矩形，$DE=8$. $\therefore AF=DE=8$. $\because AB=6$，$BF=10$，$\therefore AB^2+AF^2=BF^2$，$\therefore \angle BAF=90°$. $\because AE \perp BF$，$\therefore S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AB \cdot AF=\frac{1}{2}BF \cdot AE$，$\therefore AE=\frac{AB \cdot AF}{BF}=\frac{24}{5}$.